Caso di routine

Quando $x$ e $n$ diventano grandi, con $0 \ll x \ll n$, $f(p)$ gode delle seguenti proprietà asintotiche:

$$(p]) \approx p_m=\frac{x}{n}\,,$$ (12.16)

$$(p) \approx \frac{x}{n}\, \left(1-\frac{x}{n}\right)\,\frac{1}{n} = \frac{p_m\,(1-p_m)}{n}\,,$$ (12.17)

$$\sigma_p \approx \sqrt{\frac{p_m\,(1-p_m)}{n}}\,,$$ (12.18)

$$p \sim {\cal N}(p_m, \sigma_p)\,.$$ (12.19)

Sotto queste condizioni abbiamo ricuperato il ragionamento intuitivo mostrato nel paragrafo precedente, però con una maggiore consapevolezza delle condizioni di validità. Si noti inoltre che, quando $n\rightarrow\infty$, siamo ``praticamente sicuri'' che $p$ valga $x/n$. In un certo senso, abbiamo recuperato la ``definizione'' frequentista della probabilità come regola di valutazione sotto ben precise condizioni.