Combinazione di misure indipendenti

Usiamo il caso di $x=n$ per mostrare in modo semplice come $f(p)$ viene riaggiornata alla luce di nuove prove. Immaginiamo di aver effettuato due esperimenti, rispettivamente di $n_1$ e $n_2$ prove. Ovviamente, la globalità delle informazioni consiste in $n_1+n_2$ prove con $n_1+n_2$ successi, ovvero

$$f(p\,\vert\,x = n,{\cal B}) = (n+1)\,p^n = (n_1+n_2+1)\,p^{n_1+n_2}\, .$$ (12.28)

Si può procedere in un altro modo, calcolando la distribuzione successiva all'informazione $x_1=n_1$

$$f(p\,\vert\,x_1 = n_1,{\cal B}) = (n_1+1)\,p^{n_1}\, ,$$ (12.29)

e utilizzandola come prior per l'inferenza successiva:

$$f(p\,\vert\,x_1 = n_1, x_2=n_2,{\cal B}) = \frac{p^{n_2} f(p\,\vert\,x_1=n_1, {\cal B})} {\int_{0}^{1}\! p^{n_2}f(p\,\vert\,x_1=n_1, {\cal B})\,\rm {d}p}$$ (12.30)

$$= \frac{p^{n_2}(n_1+1)\,p^{n_1}} {\int_{0}^{1}\! p^{n_2}(n_1+1)\,p^{n_1}\,\rm {d}p}$$ (12.31)

$$= (n_1+n_2+1)\,p^{n_1+n_2}\, ,$$ (12.32)

ottenendo lo stesso risultato.