Relazione fra esponenziale e geometrica

Che l'esponenziale non sia altro che il limite della geometrica per $p\rightarrow 0$ dovrebbe essere già chiaro da come essa è stata introdotta. Facciamo altri chiarimenti:

• quando $p\rightarrow 0$ non ha più senso parlare del numero di prova, in quanto le ``prove'' (ciascuna in un intervallino di tempo $\Delta t \rightarrow 0$) sono necessariamente infinite;
• così pure perde di significato $p$ per ``ciascuna'' prova (essa è pari a zero indipendentemente dall'``intensità'' del processo) e si può parlare soltanto di $\tau$ o di $r$;
• in particolare, ricordando le espressioni del valore atteso le due distribuzioni, è possibile esprimere in modo analogo $p$ e $r$ delle due distribuzioni:

  geometrica:

  $p$ è pari al numero medio di successi per estrazione;

  esponenziale

  $r$ è pari al numero medio di successi per unità di tempo ($r$ ha pertanto il significato di ``intensità'' del processo di Bernoulli).

Un altro aspetto comune delle due distribuzioni è la cosiddetta proprietà di assenza di memoria delle due distribuzioni, espressa in generale come

$$P(X > x+ x_\circ\,\vert\, X>x_\circ) = P(X>x)$$ (8.25)

(per l'esponenziale si sostituisca $X$ a $T$), facilmente dimostrabile dalla formula della probabilità condizionata. Vedremo una applicazione di tale proprietà nell'esempio dei decadimenti radioattivi. Si noti comunque come questa proprità di assenza di memoria caratterizzi le due distribuzioni. Difatti è possibile dimostrare come la richiesta della (8.25) conduca alla geometrica o all'esponenziale a seconda che si tratti di variabile discreta o continua.