Relazione fra esponenziale e poissoniana

Abbiamo visto come la distribuzione esponenziale e quella di Poisson rappresentano due modi di descrivere lo stesso processo. I parametri delle due distribuzioni dipendono l'uno dall'altro:

• se si ha un processo di Poisson con un tasso di conteggi nell'unità di tempo di $r$, ne segue che:
  • fissando un tempo finito $T$ di osservazione, il numero di eventi che sarà possibile osservare segue una distribuzione di Poisson con $\lambda = r\,T$;
  • l'intervallo di tempo che bisogna attendere per osservare il primo evento, a partire da un certo istante arbitrario, è un numero aleatorio reale descritto da una esponenziale di parametro $\tau =1/r$;
  • fra i parametri delle due distribuzioni vale quindi la relazione

    $$\tau = \frac{T}{\lambda}\,.$$ (8.24)

    
    

La figura 8.11 illustra bene la complementarità fra esponenziale e poissoniana.

Figura: Simulazione al computer dell'istante di occorrenza di eventi casuali descritti da un processo di Poisson di intensità $r$ uguale a 1 conteggio al secondo. La risoluzione temporale dell'istogrammaè pari a $0.2\, s$.