Distribuzione del tempo di attesa del primo successo

Calcoliamo innanzitutto la probabilità che non si verifichi nessun ``evento''<sup>8.5</sup>durante un certo tempo finito $t$. Lo facciamo in modo generale considerando il numero aleatorio reale $T$, definito come ``tempo di attesa per registrare il primo conteggio, a partire da un certo istante arbitrario''. Se, come fatto precedentemente, immaginiamo di suddividere il tempo finito $t$ in $n$ intervallini, otteniamo (vedi distribuzione geometrica)

$$P(T>t) = (1-p)^n$$

$$= (1-r\,\frac{t}{n})^n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}e^{-rt}\,,$$ (8.22)

da cui segue la probabilità cumulativa

$$F(t) \equiv P(T\le t) = 1 - P(T>t) = 1-e^{-r\,t}\,.$$ (8.23)

Quindi la funzione cumulativa dei tempi di attesa affinché si verifichi un evento descritto da un processo di Poisson è data da una esponenziale. Per ottenere la funzione densità densità di probabilità deriviamo la $F(t)$, ottenendo:

$$f(t) = \frac{\mbox{d}\,F(t)}{\mbox{d}\,t} = r\,e^{-r\,t}\,.$$

Introducendo la grandezza $\tau =1/r$ omogenea a $t$, otteniamo l'espressione usuale della distribuzione esponenziale nel dominio tempo (vedi (8.12).

Figura: Esempi di distribuzioni esponenziali nel dominio del tempo.

Il parametro $\tau$ ha quindi il significato di previsione del tempo di attesa prima che si verifichi il primo conteggio, a partire da un istante arbitrario. Essendo $\tau =1/r$, tale previsione è pari all'inverso della previsione del numero di eventi per unità di tempo.

Si noti che essendo arbitrario l'istante da cui parte l'osservazione, esso può anche essere uno dei possibili conteggi. Quindi la distribuzione trovata descrive il tempo di arrivo fra due conteggi successivi.