Distribuzione esponenziale

Abbiamo visto finora variabili continue definite in un intervallo finito. Quando l'intervallo diventa infinito, la funzione densità di probabilità deve avere un andamento opportunamente decrescente in modo tale che il suo integrale sia uguale a 1. Un caso molto interessante di distribuzione è quando si ha una grandezza definita fra 0 e infinito, con i gradi di fiducia che decrescono esponenzialmente con il suo valore:

$$f(x)\propto e^{-\alpha\, x} \hspace{1.0 cm} \left\{\begin{array}{l} 0 \le x < \infty \\ \alpha > 0 \end{array}\right.$$

Il fattore di proporzionalità si ricava dalla condizione di normalizzazione, da cui:

$$f(x) = \alpha\, e^{-\alpha\, x}\,.$$

Per ragioni di convenienza legate alle applicazioni che incontreremo, consideriamo una variabile casuale che abbia il significato di tempo $T$. È anche opportuno utilizzare un parametro omogeneo con $T$ indicato con $\tau$ ($=1/\alpha$). Si ottiene allora la seguente espressione per la distribuzione esponenziale nel dominio del tempo:

$$f(t\,\vert\,{\cal E}(\tau)) = \frac{1}{\tau}\, e^{-t/\tau} \hspace{1.0 cm} \left\{\begin{array}{l} 0 \le t < \infty \\ \tau > 0 \end{array}\right. ( 0 \le t < \infty )$$ (8.12)

$$F(t\,\vert\,{\cal E}(\tau)) = 1-e^{-t/\tau} \hspace{1.0 cm} ( 0 \le t < \infty )$$ (8.13)

Calcoliamoci il valore atteso e deviazione standard di $T$:

$$(T) = \int_0^{\infty}\frac{t}{\tau}\, e^{-t/\tau} t$$

$$= \left. -t\, e^{-t/\tau}\right\vert _0^\infty+ \int_0^{\infty}\! e^{-t/\tau} t$$

$$= \tau$$

$$(T^2) = \int_0^{\infty}\frac{t^2}{\tau}\, e^{-t/\tau} t$$

$$= \left. -t^2\, e^{-t/\tau}\right\vert _0^\infty+ 2\, \int_0^{\infty}\! t\, e^{-t/\tau} t$$

$$= 2\, \tau^2$$

$$\sigma(T) = \tau$$

La distribuzione esponenziale può essere atta a descrivere una situazione di incertezza in cui anche valori molto grandi della grandezza possono essere ammissibili, ma con gradi di fiducia tali che dopo alcune deviazioni standard si è ``praticamente certi'' che essi non si verifichino. Un caso interessantissimo in cui essa entra in gioco è nei tempi di attesa di conteggi in fenomeni descritti da processi di Poisson (vedi paragrafo 8.12 nel prossimo paragrafo.