Prior uniforme in $\sigma$

Come per $\mu$, il primo modello matematicamente semplice di vaghezza che salta in mente è una distribuzione uniforme per valori positivi di $\sigma$. Ovviamente, questo modello va preso con cautela, come anche nel caso di $\mu$, in quanto certamente non crediamo allo stesso modo a tutti i valori di $\sigma$, specialmente quelli molto prossimi a zero o che tendono a infinito (rispetto alla scala che abbiamo in mente di valori plausibili). Dal modello otteniamo (assumendo implicito il condizionante di contorno $I$):

$$f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x}) \propto f(\mathbf{x}\,\vert,\mu,\sigma)$$ (11.62)

$$\propto \prod_i \frac{1}{\sigma} \exp{\left[-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]}$$ (11.63)

$$\propto \sigma^{-n}\exp{\left[-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_i(x_i-\mu)^2\right]}$$ (11.64)

$$\propto \sigma^{-n}\exp{\left[-\frac{1}{2\sigma^2} \left( n\,(\overline{x}-\mu)^2+ n\,s^2 \right)\right]}\,,$$ (11.65)

ove nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato l'uguaglianza

$$\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 = n(\overline{x}-\mu)^2+ \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2= n(\overline{x}-\mu)^2+n\,s^2\,,$$

con $s$ pari alla deviazione standard calcolata sui dati sperimentali:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$$ (11.66)

Marginalizzando su $\sigma$ abbiamo: ^11.7

$$f(\mu\,\vert\,\mathbf{x}) = \int_0^\infty\! f(\mu,\sigma)\, \sigma$$

$$\propto \left( n\,(\overline{x}-\mu)^2+n\,s^2\right)^{-(n-1)/2}$$

$$\propto \left(1+\frac{(\mu-\overline{x})^2}{s^2}\right)^{-(n-1)/2}$$ (11.67)

$$\propto \left(1+\frac{(\mu-\overline{x})^2}{(n-2)\,s^2/(n-2)} \right)^{-((n-2)+1)/2}$$

Avendo moltiplicato e diviso $s^2$ per $(n-2)$, si riconosce una forma del tipo

$$\propto \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}$$ (11.68)

con

$$\nu = n-2$$ (11.69)

$$t = \frac{\mu-\overline{x}}{s/\sqrt{n-2}}\,,$$ (11.70)

$$$$

$$\mu = \overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n-2}}\,t\,,$$ (11.71)

ove $t$ è la variabile $t$ di Student con $\nu=n-2$. Applicando le note proprietà della distribuzione di Student (vedi paragrafo 8.15.4 ), otteniamo:

$$\frac{\mu-\overline{x}}{s/\sqrt{n-2}} \sim (\nu=n-2)$$ (11.72)

$$(\mu) \stackrel{(n>3)}{=} \overline{x}$$ (11.73)

$$\sigma(\mu) \stackrel{(n>4)}{=} \frac{s}{\sqrt{n-4}} \,.$$ (11.74)

Come si vede, l'incertezza su $\sigma$ produce una ulteriore incertezza su $\mu$, tale da rendere più plausibili valori molto lontani dalla media (caratteristica delle $t$ di Student rispetto alla normale standardizzata). Questo effetto è, come è ragionevole che sia, più importante per $n$ piccolo e si attenua immediatamente quando $n$ supera il valore di qualche decina. Per $n$ al di sotto di $n=5$ le code della distribuzione sono talmente pronunciate che la varianza è infinita e per $n<4$ è addirittura il calcolo della media a non convergere. Questo va bene dal punto di vista matematico, ma non vuol dire che ``non si può dire niente su $\mu$''. Queste divergenze non sono altro che il risultato della ipersemplicità del modello. Nessuna persona ragionevole crederà mai che avendo letto su un voltmetro 6.25 V, 6.32 V e 6.29 V crederà mai che il valore vero della tensione sia compatibile con valori ``infiniti'', sia positivi che negativi (è quello che ci dice la $t$ di Student, e anche la più tranquilla gaussiana, seppur con gli infiniti ``un po' meno probabili'', per dirla alla buona).

Quando $n$ diventa molto grande otteniamo gli stessi risultati delle argomentazioni intuitive discusse precedentemente (basate giustappunto su tale limite):

$$(\mu) \xrightarrow{n\rightarrow \infty} \overline{x}$$ (11.75)

$$\sigma(\mu) \xrightarrow{n\rightarrow \infty} \frac{s}{\sqrt{n}}$$ (11.76)

$$\mu \xrightarrow{n\rightarrow \infty} \sim {\cal N}(\overline{x},s/\sqrt{n}).$$ (11.77)

Seguitiamo ora con questa parte formale, ritornando successivamente a raccomandazioni su come comportarsi in pratica.