pzd100Inferenza simultanea su $\mu$ e $\sigma$

Affrontiamo ora il problema dal punto di vista generale. Per inferire $\mu$ e $\sigma$ da un insieme di $n$ osservazioni che riteniamo indipendenti (condizionatamente ad ogni ipotesi di $\mu$ e $\sigma$) e descritte da verosimiglianza normale, dobbiamo semplicemente applicare il teorema di Bayes a due numeri incerti anziché ad uno solo. Successivamente si tratta di marginalizzare la distribuzione congiunta sulla variabile che non ci interessa:

$$f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I) \propto f(\mathbf{x}\,\vert,\mu,\sigma,I)\times f_\circ(\mu,\sigma)$$ (11.57)

$$f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},I) = \int_0^\infty\! f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I)\, \sigma$$ (11.58)

$$f(\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I) = \int_{-\infty}^{\infty}\! f(\mu,\sigma\,\vert\, \mathbf{x},I)\, \mu\,,$$ (11.59)

ove abbiamo ricordato, ancora una volta, che tutta l'inferenza dipende da tutte le condizioni di contorno $I$. Come al solito cè il ``problema'' di che prior utilizzare. Senza ripetere il lungo discorso fatto a proposito di $\mu$, è chiaro che $f_\circ(\mu,\sigma)$ dovrebbe modellizzare, pur nella sua vaghezza, quello che ci si aspetta su $\mu$ e $\sigma$. In alcune misure si è abbastanza sicuri l'ordine di grandezza della deviazione standard (``si è stupiti se venisse oltre un valore di un ordine di grandezza in più o in meno di quanto ci si aspetta). In altre misure si aspettano valori che possono differire ``tranquillamente'' di uno o due ordini di grandezza rispetto a quello atteso, ma quasi certamente non di un fattore 1000 o più. In altri tipi di misure, forse è il caso più generale, le aspettazioni sull'ordine di grandezza non sono su $\sigma$ ma sul coefficiente di variazione $v=\sigma/\mu$, ovvero sulla precisione, in modo largamente indipendente dal valore $\mu$. E, infatti, le misure vengono classificate in ``come ordine di grandezza'', ``al percento'', ``al per mille'', e così via. Quindi, ricordando che incertezza sull'ordine di grandezza significa incertezza sul logaritmo della variabile, otteniamo le seguenti possibilità:

$$\sigma \sim {\cal N}(\ln{\sigma_\circ}, \sigma_{\ln{\sigma_\circ}})$$ (11.60)

$$v=\frac{\sigma}{\mu} \sim {\cal N}(\ln{v_\circ},\sigma_{\ln{v_\circ}})\,.$$ (11.61)

Si capisce come, una volta combinate queste prior su $\sigma$ o su $v$ con quella su $\mu$ e inserite nella formula di Bayes, i conti diventano complicati e, come veedremo, non vale la pena di farli, a meno che non si tratti di un problema cruciale. Vediamo un paio di modi di modellizzare la vaghezza su $\sigma$ in modo da semplificare i conti e, in base ai risultati ottenuti, di capire se vale la pena di fare di meglio.