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pzd100Inferenza simultanea su $ \mu $ e $ \sigma $

Affrontiamo ora il problema dal punto di vista generale. Per inferire $ \mu $ e $ \sigma $ da un insieme di $ n$ osservazioni che riteniamo indipendenti (condizionatamente ad ogni ipotesi di $ \mu $ e $ \sigma $) e descritte da verosimiglianza normale, dobbiamo semplicemente applicare il teorema di Bayes a due numeri incerti anziché ad uno solo. Successivamente si tratta di marginalizzare la distribuzione congiunta sulla variabile che non ci interessa:
$\displaystyle f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I)$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle f(\mathbf{x}\,\vert,\mu,\sigma,I)\times f_\circ(\mu,\sigma)$ (11.57)
$\displaystyle f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},I)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^\infty\! f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I)\,$d$\displaystyle \sigma$ (11.58)
$\displaystyle f(\sigma\,\vert\,\mathbf{x},I)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\! f(\mu,\sigma\,\vert\,
\mathbf{x},I)\,$d$\displaystyle \mu\,,$ (11.59)

ove abbiamo ricordato, ancora una volta, che tutta l'inferenza dipende da tutte le condizioni di contorno $ I$. Come al solito cè il ``problema'' di che prior utilizzare. Senza ripetere il lungo discorso fatto a proposito di $ \mu $, è chiaro che $ f_\circ(\mu,\sigma)$ dovrebbe modellizzare, pur nella sua vaghezza, quello che ci si aspetta su $ \mu $ e $ \sigma $. In alcune misure si è abbastanza sicuri l'ordine di grandezza della deviazione standard (``si è stupiti se venisse oltre un valore di un ordine di grandezza in più o in meno di quanto ci si aspetta). In altre misure si aspettano valori che possono differire ``tranquillamente'' di uno o due ordini di grandezza rispetto a quello atteso, ma quasi certamente non di un fattore 1000 o più. In altri tipi di misure, forse è il caso più generale, le aspettazioni sull'ordine di grandezza non sono su $ \sigma $ ma sul coefficiente di variazione $ v=\sigma/\mu$, ovvero sulla precisione, in modo largamente indipendente dal valore $ \mu $. E, infatti, le misure vengono classificate in ``come ordine di grandezza'', ``al percento'', ``al per mille'', e così via. Quindi, ricordando che incertezza sull'ordine di grandezza significa incertezza sul logaritmo della variabile, otteniamo le seguenti possibilità:
$\displaystyle \sigma$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal N}(\ln{\sigma_\circ},
\sigma_{\ln{\sigma_\circ}})$ (11.60)
$\displaystyle v=\frac{\sigma}{\mu}$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal N}(\ln{v_\circ},\sigma_{\ln{v_\circ}})\,.$ (11.61)

Si capisce come, una volta combinate queste prior su $ \sigma $ o su $ v$ con quella su $ \mu $ e inserite nella formula di Bayes, i conti diventano complicati e, come veedremo, non vale la pena di farli, a meno che non si tratti di un problema cruciale. Vediamo un paio di modi di modellizzare la vaghezza su $ \sigma $ in modo da semplificare i conti e, in base ai risultati ottenuti, di capire se vale la pena di fare di meglio.

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Giulio D'Agostini 2001-04-02