Caso di $\sigma$ ignota

Nei paragrafi precedenti abbiamo assunto di avere già delle idee sulla deviazione standard del modello gaussiano di verosimiglianza. Ovvero, ci siamo posti nelle condizioni di avere già acquisito una certa esperienza, o comunque una certa confidenza, sul comportamento della singola osservazione (o osservazione equivalente). È preferibile parlare, in termini generali, di confidenza piuttosto che di esperienza, in quanto il nostro modello (e i sui parametri) possono derivare, e è spesso il caso, da simulazioni, estrapolazioni e analogie, piuttosto che da una vera sperimentazione su quella grandezza fisica, in quell'intervallo di valori possibili e in quelle condizioni sperimentali. Vediamo ora come valutare $\sigma$ del modello gaussiano avendo registrato $n$ osservazioni in condizioni apparentemente identiche (nei limiti di un controllo reale dell'esperimento e non dal punto di vista di un diavoletto di Maxwell in grado di percepire qualsiasi variazione microspopica) e avendo osservato una dispersione di valori, intorno a un valore medio $\overline{x}$. Quantifichiamo la dispersione dei valori con la deviazione standard del campione statistico, che per evitare confusione con il parametro $\sigma$ della gaussiana, chiameremo $s$. Abbiamo quindi:

$$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_i x_i$$ (11.51)

$$s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i (x_i-\overline{x})^2} = \sqrt{\overline{x^2} - \overline{x}^2}\,.$$ (11.52)

Avendo introdotto questi riassunti statistici del campione in esame, procediamo per passi. Infatti questo è uno degli argomenti nei quali ci si può far prendere la mano dalla matematica dimenticando il proprio stato di conoscenza sulla natura delle cose e facendo perdere di mira gli obiettivi pratici.