Distribuzione di $1/\sigma ^2$

Abbiamo visto come, seppur con delle scelte di convenienza formale delle prior, le funzioni distribuzioni finali di $\sigma$ sono alquanto inconsuete. È interessante studiare la forma di $1/\sigma ^2$. Chiamando

$$z=\frac{n\,s^2}{\sigma^2}\,,$$

abbiamo dalle (11.81) e (11.88) rispettivamente

$$f(z\,\vert, \ \sigma) \propto z^{(n-2)/2-1 }\,e^{-z} \hspace{0.8cm}(z\ge 0)$$ (11.95)

$$f(z\,\vert, \ \ln\sigma) \propto z^{(n-1)/2-1} \,e^{-z} \hspace{0.8cm}(z\ge 0) \,.$$ (11.96)

Confrontando con la (8.43) si riconoscono nelle due funzioni delle distribuzioni di $chi^2$ con un numero di gradi di libertà rispettivamente $\nu=n-2$ e $\nu=n-1$. Possiamo utilizzare questa osservazione per ricavare in modo approssimato previsione e incertezza di previsione di $\sigma$, sotto ipotesi che la linearizzazione sia soddisfacente, ovvero l'incertezza relativa su $z$ sia piccola, ovvero ancora che $n$ sia grande. Vediamo il solo caso di prior uniforme in $\ln\sigma$, essendo l'altro caso simile e, comunque, praticamente indistinguibile nei casi in cui vale la linearizzazione.

$$s = \frac{\sqrt{n}\,s}{\sqrt{z}}$$ (11.97)

$$(\sigma) \approx \frac{\sqrt{n}\,s}{\sqrt{z}} = \sqrt{\frac{n}{n-2}}\,s \approx s$$ (11.98)

$$(\sigma) \approx \left\vert\frac{\partial\sigma}{\partial z}\right\vert \, (z) = \frac{\sqrt{n}\,s}{\sqrt{2}\,(n-2)} \approx \frac{s}{\sqrt{2\,n}}\,,$$ (11.99)

riottendo i risultati asintotici calcolati direttamente. In particolare, per $n\rightarrow\infty$ abbiamo che $z\sim{\cal N}(n,\sqrt{2\, n})$, con coefficiente di variazione $v=\sqrt{2}/\sqrt{ n}$. Quindi la linearizzazione diventa una buona approssimazione e anche $f(\sigma )$ diventa gaussiana.

Terminiamo questo paragrafo facendo notare un altro modo di scrivere il risultato ottenuto.

$$\mbox{prior uniforme in $\sigma$} : \frac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-2}$$ (11.100)

$$\mbox{prior uniforme in $\log\sigma$} : \frac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\,.$$ (11.101)