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Chi$ ^2$

La distribuzione di Chi$ ^2$ (si legge ``chi quadro'') è data da

$\displaystyle f(x\,\vert\,$chi$\displaystyle ^2(\nu))=\left(2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)... ...} \hspace{0.8cm}\left\{\!\begin{array}{l} x\ge 1 \\ \nu > 0 \end{array}\right.$ (8.43)

La variabile che segue tale distribuzione è usualmente indicata con $ \chi^2_\nu$. Il parametro $ \nu $, non necessariamente intero è detto numero di gradi di libertà. Valore atteso, varianza e moda sono:
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \nu$ (8.44)
Var$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\, \nu\,,$ (8.45)
moda$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\! \begin{array}{ll} 0 & \mbox{se} \nu\le 2 \\ \nu-2 & \mbox{se} \nu> 2 \end{array}\right.$ (8.46)

Alcuni esempi sono mostrati in figura 8.16. La funzione generatrice dei momenti vale $ G(t)=(1-2\, t)^{\frac{\nu}{2}}$.

Figura: Esempi di distribuzioni di Chi$ ^2$. I numeri in grassetto si riferiscono alle curve continue.
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{\vert c\vert}\hline \\ \multicolu... ...s,width=0.8\linewidth,clip=}\\ \\ \hline \end{tabular}\end{center}\end{figure}

La distribuzione di Chi$ ^2$ è legata alla distribuzione Gamma da

chi$\displaystyle ^2(\nu) =$   Gamma$\displaystyle \left(\frac{\nu}{2}, \frac{1}{2}\right)\,.$

Una importante importante proprietà che la rende utile per le applicazioni è la seguente: se $ n$ variabili $ Z_i$ indipendenti seguono una distribuzione normale standardizzata, la loro somma segue una distribuzione di Chi$ ^2$ di parametro $ \nu=n$. Inoltre, se $ n$ variabili indipendenti $ X_i$ seguono ciascuna una distribuzione di Chi$ ^2$ di parametro $ \nu_i$, la loro somma segue una distribuzione di Chi$ ^2$ evente $ \nu=\sum_i\nu_i$ (proprietà riproduttiva rispetto alla somma).

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Giulio D'Agostini 2001-04-02