Gamma

$$f(x\,\vert\, (c,r))=\frac{r^c}{\Gamma(c)}x^{c-1}e^{-r\,x} \hspace{1.0cm}\begin{array}{l} x\ge 0 \\ r,\, c > 0 \end{array}\,,$$ (8.39)

Valore atteso, varianza e moda sono:

$$(X) = \frac{c}{r}$$ (8.40)

$$(X) = \frac{c}{r^2}$$ (8.41)

$$(X) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{se}\ c < 1 \\ \frac{c-1}{r} & \mbox{se}\ c \ge 1 \end{array}\right.\,.$$ (8.42)

Se $c$ è intero si parla della distribuzione di Erlang, la quale descrive il tempo di attesa per osservare $c$ eventi in un processo di Poisson evente un tasso di conteggi per unità di tempo pari ad $r$. Alcuni esempi sono mostrati in figura 8.15. Chiaramente, quando $c=1$ essa si riduce alla distribuzione esponenziale negativa.

Figura: Esempi di distribuzioni Gamma per diversi valori dei parametri. I numeri in grassetto si riferiscono alle curve continue.

La funzione generatrice dei momenti vale

$$G(t) = \left(1-\frac{t}{r}\right)^{-c}\,.$$