Incertezza su $\sigma$

È interessante, a questo punto marginalizzare la funzione congiunta $f(\mu,\sigma)$ rispetto a $\mu$ per inferire i valori di $\sigma$. Facciamo i conti nei due modelli per $f_\circ(\sigma)$.

• Prior uniforme in $\sigma$:
  

  $$f(\sigma\,\vert\,\mathbf{x}) = \int_{-\infty}^{+\infty}\! f(\mu,\sigma\,\vert\,\mathbf{x})\, \mu$$

  $$\propto \sigma^{-n}\exp{\left[-\frac{n\,s^2} {2\,\sigma^2} \right] } \int... ...y}\!\exp{\left[-\frac{n\,(\overline{x}- \mu)^2}{2\sigma^2}\right]}\,\mbox{d}\mu$$

  $$\propto \sigma^{-(n-1)}\exp{\left[-\frac{n\,s^2}{2\,\sigma^2} \right]}\,,$$ (11.81)

  
  
  in quanto l'integrale è pari a $\sqrt{2\,\pi}\sigma/\sqrt{n}$ (la ben nota condizione di normalizzazine della gaussiana).

  Figura: Funzione densità di probabilità del parametro $\sigma$ della gaussiana, in unità della deviazione standard sui valori osservati, assumendo $f_\circ (\sigma )=k$ per un numero $n$ di osservazioni pari 3 (curva puntinata), 5 (tratteggiata) e 10 (continua).

  

  La forma della funzione è molto asimmetrica per $n$ piccoli, mentre tende ad una gaussiana per $n\rightarrow\infty$. La figura 11.6 mostra degli esempi. Queste sono le espressioni di moda, valore atteso e deviazione standard in unità di $s$
  

  $$(\sigma)/s = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$$ (11.82)

  $$(\sigma)/s \stackrel{(n>3)}{=} \underbrace{\sqrt{\frac{n}{2}} \frac{\Gamma[(n-3)/2]}{\Gamma[n/2-1]}}_{\alpha_0}$$ (11.83)

  $$(\sigma)/s \stackrel{(n>4)}{=} \frac{1}{\sqrt{2\,n}} \underbrace{n\,\sqrt{\frac{2}{n-4}- \frac{\Gamma^2\left[(n-3)/2\right]} {\Gamma^2[n/2-1]} }}_{\beta_0}$$ (11.84)

  
  
  ove abbiamo designato con ``DevSt'' la deviazione standard di $\sigma$, per ovvi motivi. I due fattori complicati $\alpha_\circ$ e $\beta_\circ$ sono rilevanti soltanto per piccoli valori $n$. Per $n\rightarrow\infty$ essi tendono a 1 e già per $n=10$ differiscono dall'unità per meno del 50% (vedi figure 11.7 e 11.8).

  Figura: Fattore $\alpha$ fra valore atteso di $\sigma$ e deviazione standard delle osservazioni sperimentali in funzione del numero di osservazioni. I rombi si riferiscono al caso di prior uniforme in $\sigma$, le stelle al caso di uniforme in $\ln\sigma$.

  

  Figura: Fattore $\beta$ fra incertezza standard su $\sigma$ e $s/\sqrt{2\,n}$ in funzione del numero di osservazioni. I rombi si riferiscono al caso di prior uniforme in $\sigma$, le stelle al caso di uniforme in $\ln\sigma$.

  
  Quindi, per $n$ grandi abbiamo i seguenti valori asintotici:
  

  $$(\sigma) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} s$$ (11.85)

  $$(\sigma) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \frac{s}{\sqrt{2\,n}}$$ (11.86)

  $$\sigma \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \sim{\cal N}(s,s/\sqrt{2\,n})\,.$$ (11.87)

  
  
  (Si noti come il limite a normale è, per ora, una congettura basata sull'osservazione delle curve. Nel paragrafo 11.7.4 vedremo un altro argomento più formale, basato sulla distribuzione di probabilità di $1/\sigma ^2$.)
• Prior uniforme in $\ln\sigma$: la prior $f_\circ(\sigma)\propto 1/\sigma$ abbassa di un grado la potenza di $\sigma$ nella funzione finale:
  

  $$f(\sigma\,\vert\,\mathbf{x}) = \sigma^{-n}\exp{\left[-\frac{n\,s^2}{2\,\sigma^2} \right]}\,,$$ (11.88)

  
  
  da cui seguono
  

  $$(\sigma)/s = 1$$ (11.89)

  $$(\sigma)/s \stackrel{(n>2)}{=} \underbrace{\sqrt{\frac{n}{2}} \frac{\Gamma[(n/2-1]}{\Gamma[(n-1)/2]}}_{\alpha_1}$$ (11.90)

  $$(\sigma)/s \stackrel{(n>3)}{=} \frac{1}{\sqrt{2\,n}} \underbrace{n\, \sqrt{\frac{2}{n-3}- \frac{\Gamma^2\left[n/2-1\right]} {\Gamma^2[(n-1)/2]} }}_{\beta_1}$$ (11.91)

  
  
  Come succedeva per la previsione di $\mu$, questo secondo modello dà delle curve un po' più strette per $n$ piccoli, mentre le differenze diventano immediatamente irrilevanti quando $n$ arriva all'ordine della decina. In particolare, gli andamenti asintotici
  

  $$(\sigma) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} s$$ (11.92)

  $$(\sigma) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \frac{s}{\sqrt{2\,n}}$$ (11.93)

  $$\sigma \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \sim{\cal N}(s,s/\sqrt{2\,n})\,.$$ (11.94)

  
  
  sono gli stessi.

  Figura: Come figura 11.6, con prior uniforme in $\ln\sigma$.

  
  Degli esempi sono mostrati in figura 11.9. Le funzioni $\alpha_1$ e $\beta_1$ sono mostrate nelle figure 11.7 e 11.8.