Prior uniforme in $\log{\sigma}$

Vediamo ora cosa succede se si sceglie una posizione di assoluta indifferenza sugli ordini di grandezza di $\sigma$, posizione assurda quanto quella precedente, ma se non altro un po' più ragionevole della precedente e con il vantaggio pratico di smorzare un po' gli eccessivamente grandi valori di $\sigma$ responsabili delle divergenze.

Assumere che $f_\circ(\ln{\sigma})=k$ è equivalente a $f_\circ(\sigma)=1/\sigma$. Inserendo questa prior nei conti precedenti, l'effetto è di diminuire di 1 la potenza di $\sigma$ nell'integrando. L'effetto sulla $f(\mu)$ è che la potenza dell'espressione finale diventa $-n/2$ anziché $-(n-1)/2$. Di consequenza, abbiamo ancora una $t$ di Student, ma con $\nu=n-1$ e nella variabile $(\mu-\overline{x})/(s/\sqrt{n-1})$, da cui:

$$\frac{\mu-\overline{x}}{s/\sqrt{n-1}} \sim (\nu=n-1)$$ (11.78)

$$(\mu) \stackrel{(n>2)}{=} \overline{x}$$ (11.79)

$$\sigma(\mu) \stackrel{(n>3)}{=} \frac{s}{\sqrt{n-3}}\,.$$ (11.80)

Per $n$ piccoli questo modello produce una incertezza su $\mu$ minore di quella del modello precedente, ma anche questa è da considerarsi molto conservativa (e quindi non coerente!) perché usa una prior su $\sigma$ irragionevole per qualsiasi applicazione pratica. Quando $n$ aumenta abbiamo una più rapida convergenza al modello normale in quanto l'osservazione ``solida'' di $s$ esclude valori troppo fantasiosi per $\sigma$.

Tabella: Semiampiezza in unità di $s$ $\Delta$ dell'intervallo intorno al valore medio tale che racchiuda con probabilità $P_{xx}\%$ il valore vero di $\mu$. Nel caso di $\sigma$ ignota la probabilità dipende dalla prior $f(\sigma )$. Per confronto è riportato il caso limite gaussiano nell'ipotesi che $\sigma$ sia esattamente uguale a quella osservata.

		$P_{50\%}$	$P_{90\%}$	$P_{95\%}$	$P_{99\%}$
	$f(\sigma)=k$	0.58	2.06	3.04	7.03
$n=4$	$f(\ln \sigma)=k$	0.44	1.36	1.83	3.38
	Normale $\sigma=s$	0.34	0.82	0.98	1.29
	$f(\sigma)=k$	0.37	1.07	1.40	2.30
$n=6$	$f(\ln \sigma)=k$	0.33	0.90	1.15	1.81
	Normale $\sigma=s$	0.28	0.67	0.80	1.05
	$f(\sigma)=k$	0.29	0.79	1.00	1.52
$n=8$	$f(\ln \sigma)=k$	0.27	0.72	0.90	1.32
	Normale $\sigma=s$	0.24	0.58	0.69	0.92
	$f(\sigma)=k$	0.25	0.66	0.82	1.20
$n=10$	$f(\ln \sigma)=k$	0.23	0.61	0.75	1.09
	Normale $\sigma=s$	0.21	0.52	0.62	0.82
	$f(\sigma)=k$	0.16	0.41	0.49	0.68
$n=20$	$f(\ln \sigma)=k$	0.16	0.40	0.48	0.66
	Normale $\sigma=s$	0.15	0.37	0.44	0.58
	$f(\sigma)=k$	0.10	0.24	0.29	0.39
$n=50$	$f(\ln \sigma)=k$	0.10	0.24	0.29	0.38
	Normale $\sigma=s$	0.10	0.23	0.28	0.36
	$f(\sigma)=k$	0.07	0.17	0.20	0.26
$n=100$	$f(\ln \sigma)=k$	0.07	0.17	0.20	0.26
	Normale $\sigma=s$	0.07	0.16	0.20	0.26

Per un confronto quantitativo fra i diversi modelli, riportiamo in tabella 11.1 i valori del semiampiezza $\Delta$, in unità di $s$, tale che $P(\overline{x}-\Delta\le\mu \le\overline{x}+\Delta)$ sia uguale al 50%, al 90%, a; 95% e al 99%. Ad esempio, con $n=10$ osservazioni dalle quali abbiamo ricavato $\overline{x}$ e $s$, abbiamo: $P(\overline{x}-0.66\,s\le\mu \le\overline{x}+0.66\,s\,\vert\,f_\circ(\sigma)=k)=90\%$, $P(\overline{x}-0.61\,s\le\mu \le\overline{x}+0.61\,s\,\vert\,f_\circ(\ln \sigma)=k)=90\%$ e così via. Per i ragionamenti fatti sull'eccessiva prudenza di entrambi i modelli matematicamente abbordabili, si possono considerare valori ragionevoli per $\Delta$ quelli circa intermedi fra il modello $f_\circ(\ln \sigma)=k$ e quello normale in cui si assume $\sigma=s$. in questo esempio avremmo: $P(\overline{x}-\approx 0.57\,s\le\mu \le\overline{x}+\approx 0.57\,s\,\vert\,f_\circ(\ln \sigma)=k)=90\%$. Come si vede, tenendo conto degli arrotondamenti con i quali si forniscono le incertezze, già con $n=10$ possiamo considerarci in approssimazione normale, a meno di non essere interessati a valori molto lontani da dove si concentra la massa di probabilità.