Correlazione fra i risultati introdotta dalla non perfetta conoscenza dello zero dello strumento

Un caso molto interessante è quando si misurano più grandezze particolari con lo stesso strumento (o la stessa procedura) affetto da incertezza di calibrazione. Facciamo di nuovo il semplice caso di errore di zero non perfettamemente noto. Consideriamo due valori veri $\mu_1$ e $\mu_2$ (l'estenzione a molti sarà immediata). Indichiamo con $x_1$ e $x_2$ le due osservazioni (o osservazioni equivalenti)e con $sigma_1$ e $sigma_2$ le deviazioni standard, per tener conto anche di variazione della risposta del rivelatore (oppure di un diverso numero di osservazioni individuali). La verosimiglianza congiunta delle due osservazioni è data da

$$f(x_1,x_2\,\vert\,\mu_1,\mu_2,z) = \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_1} \,\exp{\left[-\frac{(x_1-\mu_1-z)^2}{2\,\sigma_1^2}\right]}$$

$$\times \,\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_2} \,\exp\left[-\frac{(x_2-\mu_2-z)^2}{2\,\sigma_2^2}\right]$$

$$= \frac{1}{2\,\pi\,\sigma_1\sigma_2} \exp\left[-\frac{1}{2}\left( \frac{(x_1-\mu_1-z)^2}{\sigma_1^2} \right.\right.$$

$$\left.\left. \ \ + \frac{(x_2-\mu_2-z)^2}{\sigma_2^2} \right) \right]\,.$$ (11.42)

Applicando nuovamente le regole della probabilità abbiamo la seguente inferenza congiunta su $\mu_1$ e $\mu_2$:

$$f(\mu_1,\mu_2\,\vert\,x) = \frac{1} {2\,\pi\,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_Z^2} \,\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_Z^2}\,\sqrt{1-\rho^2} }$$ (11.43)

$$\times \exp \left\{ -\frac{1}{2\,(1-\rho^2)} \left[ \frac{(\mu_1-x_1)^2} {\sigma_1^2+\sigma_Z^2} \rule{0mm}{7.5mm} \right.\right.$$

$$\ \ \ \ \ \left.\left. \rule{0mm}{7.5mm} -2\,\rho\,\frac{(\mu_1-x... ...\sigma_Z^2}} +\frac{(\mu_2-x_2)^2} {\sigma_2^2+\sigma_Z^2} \right] \right\} \,,$$

dove

$$\rho = \frac{\sigma_Z^2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_Z^2} \,\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_Z^2}}\,.$$ (11.44)

Si riconosce una distribuzione normale bivariata che, nel limite di $\sigma_Z$ trascurabile si riduce a

$$f(\mu_1,\mu_2) \xrightarrow[\sigma_Z\rightarrow 0]{} \frac{1}{\sq... ...2\,\pi}\,\sigma_2} \,\exp{\left[-\frac{(\mu_2-x_2)^2}{2\,\sigma_2^2}\right]}\,.$$ (11.45)

Se non c'è incertezza sulla costante di calibrazione i due risulatati sono scorrelati e la funzione congiunta $f(\mu_1,\mu_2)$ diventa uguale al prodotto di due gaussiane. Nel caso generale, traiamo le seguenti conclusioni:

• L'effetto dell'incerteza comune su entrambe le misure rende i risultati correlati. Il coefficiente di correlazione è non negativo, come c'era da aspettarsi intuitivamente dal tipo di effetto sistematico (a seconda del valore vero di $Z$ si tenderà a sopravvalutare o a sottovalutare entrambe le grandezze).
• La densità di probabilità congiunta è una normale multivariata (vedi paragrafo 9.10) e quindi ciascun valor vero è descritto da una normale:
  

  $$\mu_1 \sim {\cal N}\left(x_1, \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_Z^2}\right),$$ (11.46)

  $$\mu_2 \sim {\cal N}\left(x_2, \sqrt{\sigma_2^2+\sigma_Z^2}\right)\,.$$ (11.47)

  
  

• La covarianza fra $\mu_1$ e $\mu_2$ è data da
  

  $$(\mu_1,\mu_2) = \rho\,\sigma_{\mu_1}\sigma_{\mu_2}$$

  $$= \rho\,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_Z^2} \,\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_Z^2} = \sigma_Z^2\,.$$ (11.48)

  
  

• Per capire se la distribuzione congiunta $f(\mu_1,\mu_2)$ è ragionevole, costruiamoci una situazione in cui l'intuito ci può aiutare. Ad esempio, ci possiamo interessare a due nuovi numeri incerti che sono la somma ($S$) e la differenza ($D$) delle due grandezze inferite. Usando le regole della probabilità ci possiamo valutare le loro distribuzioni di probabilità (vedi capitolo 10). Senza entrare nel dettaglio dei conti, diamo direttamente le conlusioni: $S=\mu_1+\mu_2$ $D=\mu_1-\mu_2$
  

  $$S \sim {\cal N}\left(x_1+x_2, \sqrt{\sigma_1^2+ \sigma_2^2+(2\,\sigma_Z)^2}\right),$$ (11.49)

  $$D \sim {\cal N}\left(x_1-x_2, \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)\,.$$ (11.50)

  
  
  Il risultato può essere interpretato come segue.
  • L'incertezza sulla differenza non dipende dall'incertezza comune sullo zero, in quanto qualunque sia il valore vero dello zero, esso si cancella nelle differenze.
  • Nella somma, invece, l'effetto dell'incertezza comune è amplificata in quanto entra ``in fase'' nell'incertezza globale di ciascuna grandezza.