pzd100Distribuzione normale bivariata

Una funzione di distribuzione di variabili multiple particolarmente importante per le applicazione è quella in cui tutte le distribuzioni marginali sono normali. Consideriamo per ora il caso di due sole variabili, rimandando nei prossimi paragrafi il caso generale.

La situazione più semplice si verifica se le due variabili casuali sono indipendenti. Nel tale caso la densità congiunta è data semplicemente dal prodotto delle densità marginali. Chiamando $X$ e $Y$ le variabili e $\mu_x$, $\mu_y$, $\sigma_x$ e $\sigma_y$ i parametri delle gaussiane otteniamo

$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y}\exp{\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}+ \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} \right) \right]}\,.$$

Il caso in cui le variabili sono correlate è decisamente più complicato. Rinunciamo ad una trattazione rigorosa e cerchiamo di capire la forma della distribuzione ragionando sulla dipendenza della densità condizionata $f_Y(y\,\vert\,x)$ dai parametri delle gaussiane e dal coefficiente di correlazione $\rho$ (nel seguito indichiamo $\rho_{X,Y}$ semplicemente come $\rho$).

• Nel limite $\rho \rightarrow 0$ si deve riottenere la distribuzione marginale ${\cal N}(\mu_y,\sigma_y)$.
• Se $\rho$ è diverso da zero la $f_Y(y\,\vert\,x)$ è distribuita intorno ad un valore medio diverso da $\mu_y$ e avente una diversa varianza. In particolare, chiamando $\mu_{y\,\vert\,x}$ e $\sigma_{y\,\vert\,x}$ i parametri della distribuzione condizionata:
  • $\mu_{y\,\vert\,x}=\mu_y$ se $\rho=0$
  • $\mu_{y\,\vert\,x} > \mu_y$ se $\rho > 0$ e $x > \mu_x$, oppure se $\rho < 0$ e $x < \mu_x$;
    
  • $\mu_{y\,\vert\,x} < \mu_y$ se $\rho < 0$ e $x > \mu_x$, oppure se $\rho > 0$ e $x < \mu_x$;
    
  • l'effetto di spostamento da $\mu_y$ deve dipendere, oltre che dal segno, anche dall'entità della correlazione;
  • esso deve dipendere dai rapporti fra le larghezze delle due gaussiane: se, ad esempio, $\sigma_y$ è maggiore di $\sigma_x$, una piccola deviazione di $x$ da $\mu_x$ produrrà una grande deviazione di $\mu_{y\,\vert\,x}$ da $\mu_y$.
  • anche la deviazione standard della distribuzione condizionata $\sigma_{y\,\vert\,x}$ deve dipendere da $\rho$, nel senso che si deve riottenere $\sigma_y$ per variabili scorrelate, mentre essa si deve annullare nel caso di correlazione lineare ($\vert\rho\vert=1$). In quest'ultimo caso infatti ogni valore di $X$ determina univocamente un valore di $Y$. Inoltre questo effetto di strizzamento della distribuzione non deve dipendere dal segno di $\rho$. La forma esatta della dipendenza funzionale è meno intuitiva, ma il risultato esatto è in accordo con le aspettative.
  Queste semplici considerazioni sono in accordo con i risultati esatti dati dalle seguenti relazioni:
  

  $$\mu_{y\,\vert\,x} = \mu_y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)$$

  $$\sigma_{y\,\vert\,x} = \sigma_y\sqrt{1-\rho^2}\,.$$

  
  

• Assumiamo inoltre che anche la distribuzione condizionata sia normale (fatta eccezione del caso degenere quando $\rho=0$ e $\sigma_{y\,\vert\,x}=0$).

Mettendo insieme i vari ingredienti otteniamo:

$$f(y\,\vert\,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp{\left[ -\frac{\... ...igma_x} \left(x-\mu_x\right)\right] \right)^2} {2\sigma_y^2(1-\rho^2)} \right]}$$

Utilizzando la formula della densità condizionata si giunge finalmente alla distribuzione congiunta $f(x,y)$:

$$f(x,y) = f(y\,\vert\,x)f(x)$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp{\left[ -\frac{\... ...} \left(x-\mu_x\right)\right] \right)^2} {2\sigma_y^2(1-\rho^2)} \right]} \cdot$$

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x} \exp{\left[-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}\right]}$$

$$= \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp{\left[-\frac{Q^2}{2}\right]}\,,$$ (9.57)

dove con $Q^2$ si è indicata la forma quadratica che compare nell'argomento dell'esponenziale, che dopo le opportune semplificazioni, ha la seguente forma:

$$Q^2=\frac{1}{1-\rho^2} \left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} - 2\... ...{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} \right]$$ (9.58)

È facile convincersi che, per definizione, $Q^2$ è una quantità non negativa, la quale si annulla nel solo punto $x=\mu_x$ e $y=\mu_y$, dove ha chiaramente un minimo.

La probabilità congiunta $f(x,y)$ descritta dalla (9.59) è nota come la normale bivariata, o binormale e la possiamo indicare con ${\cal N}_2(\mu_x, \sigma_x$, $\mu_y, \sigma_y, \rho)$.

Si può verificare facilmente che, nel caso di correlazione nulla, si riottiene la densità congiunta ottenuta precedentemente dal prodotto delle due gaussiane.

Figura: Esempio di distribuzione normale bivariata.

Figura: Distribuzione normale bivariata: ellissi di equidensità e parametri delle distribuzioni marginali. I valori numerici di $f(x,y)$ e di $\theta$ dipendono dai parametri dell'esempio.

Terminiamo elencando alcune sue proprietà, alcune delle quali già incontrate, e facendo riferimento alle Figg.  9.5 e  9.6.

• Rappresentata nello spazio, essa ha una tipica forma a campana, più o meno schiacciata e più o meno inclinata, a seconda dei valori dei parametri.
• Il valore massimo di $f(x,y)$ è situato in corrispondenza di $X=\mu_x$ e $Y=\mu_y$ e vale

  $$f(\mu_x,\mu_y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\,.$$ (9.59)

  
  
  Esso dipende, oltre che dall'inverso delle deviazioni standard, anche dal coeffiente di correlazione.
• La distribuzione marginale di ciascuna delle variabili è normale come si può verificare integrando^9.6 la (  9.59).
• I valori attesi delle variabili $X$ e $Y$ sono $\mu_x$ e $\mu_y$ e le loro deviazioni standard $\sigma_x$ e $\sigma_y$.
• La covarianza fra le variabili vale Cov$(X,Y)=\rho\,\sigma_x\sigma_y$.
• I valori di $X$ e $Y$ per i quali la densità di probabilità è costante sono quelli per i quali è costante $Q^2$. Si riconosce facilmente come tali punti, per una dato valore di $f(x,y)$, definiscono un'ellisse nel piano $(X\, Y)$, chiamata ellisse di equidensità; di particolare interesse sono due famiglie di ellissi:
  • ellissi esattamente contenute entro rettangoli di lati $2 k\sigma _x$ e $2k\sigma _y$ centrati intorno a $\mu_x$ e $\mu_y$ (Fig  9.6);
  • ellissi tali da avere un certo livello probabilità $P$ che entrambe le variabili cadano all'interno di esse (Fig  9.5.E).
  Le prime ellissi possono essere ricavate direttamente da considerazioni geometriche, mentre per le altre è necessario calcolare l'integrale $\int_{x,y \in ellisse}f(x,y)dxdy = P$. È interessante sapere che queste ultime ellissi dipendono da $Q^2$ in modo indipendente dagli altri parametri, mentre invece i valori di $f(x,y)$ sono irrilevati in quanto dipendono da $\sigma_x$, $\sigma_y$ e $\rho$.
  

  Tabella: Valori di $Q^2$ per calcolare le ellissi contenute esattamente entro i rettangoli di ampiezza $2 k\sigma _x$ e $2k\sigma _y$ intorno ai valori medi.

  k	1 (1.65)	2 (1.96)	3 (2.57)
  $Q^2$	1 (2.71)	4.0 (3.84)	9 (6.63)

  
  
  

  Tabella: Valori di $Q^2$ per calcolare le ellissi che racchiudono le variabili $X$ e $Y$ con probabilità $P$.

  
  
  
  

  $P$	$50\,\%$	$68.3\,\%$	$95\,\%$	$99\,\%$
  $Q^2$	1.39	2.30	5.99	9.21

  
  Le tabelle  9.4 e  9.5 forniscono alcuni valori di interesse di $Q^2$.
• L'angolo dell'asse maggiore dell'ellisse rispetto all'asse delle ascisse è dato dalla relazione:

  $$\tan{2\theta} = \frac{2\rho\sigma_x\sigma_y}{\sigma_x^2-\sigma_y^2}$$ (9.60)

  
  

La figura  9.5 mostra un esempio di distribuzione bivariata normale di parametri $\mu_x=1.5$, $\mu_y=1.5$, $\sigma_x=1.0$, $\sigma_y=0.5$ e $\rho=0.8$. La distribuzione congiunta è rappresentata sia come superficie nello spazio ( 9.5.a), che densità di punti proporzionali alla p.d.f. ( 9.5.d). Le funzioni di densità di probabilità marginali sono mostrate in  9.5.b e  9.5.c. Tre esempi di densità condizionate cono mostrati in  9.5.d e  9.5.f, per valori di $Y$ pari rispettivamente a 1.25, 1.5 e 1.75. La Fig.  9.5.e mostra infine le curve di equidensità tali che la probabilità congiunta di trovare i valori di $x$ e di $y$ al loro interno sia pari al 68 e al $95\,\%$. Per confronto sono anche riportati gli intervalli di probabilità al $68\,\%$ delle distribuzioni marginali.