Ragionamento intuitivo

Il modo più semplice di ragionare, senz'altro valido quando $n$ è abbastanza grande, è il seguente.

• Abbiamo visto che, assumendo il parametro $\sigma$ identico in tutte le oservazioni, la previsione di E$(\mu)$ è uguale alla media aritmetica, indipendentemente dal valore di $\sigma$, con incertezza di previsione $\sigma/\sqrt{n}$.
• Possiamo allora dire che il valore vero di $\mu$ sia approssimativamente $\overline{x}$, e quindi gli scarti $x_i-\overline{x}$ siano circa uguali agli scarti delle osservazioni dal valore vero.
• La media dei quadrati degli scarti rispetto alla media è, di consequenza, approssimativamente ugale alla media degli scarti rispetto al valore vero, ovvero $\sigma^2\approx s^2$.

In conclusione, abbiamo

$$(\mu) = \overline{x}$$ (11.53)

$$\sigma_e \approx s$$ (11.54)

$$\sigma(\mu) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$ (11.55)

$$\mu \sim \approx {\cal N}(\overline{x},\frac{s}{\sqrt{n}})$$ (11.56)

Si noti il simbolo ``='' per la prima uguaglianza e ``$\approx$'' per le altre. In fatti mentre l'espressione della previsione di $\mu$ è ``esatta'' (nel senso di previsione probabilistica e con la sua incertezza) le alte dipendono dall'incertezza di previsione di $\mu$ e quindi sono ``esatte'' soltanto nel caso di $n$ ``molto grande''. Nel seguito vedremo, più formalmente, l'origine e il limite di queste approssimazioni. Per ora possiamo assicurare che questo ragionamento va abbastanza bene, ai fini dei risultati quantitativi e interessandoci soltanto alla ragione di $\mu$ dove è condensata la massa di probabilità, per $n\ge {\cal O}(10)$.