${\bf\circlearrowright }$ Misure di centralità e di dispersione di distribuzioni statistiche

Nel paragrafo 6.3 abbiamo chiarito quali sono le differenze e le analogie fra distribuzioni statistiche e distribuzioni di probabilità. Se con $x_i$ indichiamo il generico valore della variabile (sia casuale che statistica) e, con riferimento alle distribuzioni statistiche, con $n_i$ il numero di volte che si è verificato $x_i$, con $n$ il numero totale di occorrenze e con $w_i=n_i/n$ il peso statistico di $x_i$, si nota l'analogia

$$f(x_i) \leftrightarrow w_i\,:$$

• come per $f(x_i)$, vale $\sum_iw_i=1$;
• $f(x_1)>f(x_2)$ indica che si crede più al verificarsi di $x_1$ che al verificarsi di $x_2$; analogalmente $w_1 > w_2$ indica che $x_1$ si è verificato più di $x_2$;
• come analoghe misure di posizione e di dispersione si possono prendere
  

  $$\overline{x} = \sum_i x_i w_i$$ (6.52)

  $$(x) = \sum_i (x_i-\overline{x})^2 w_i = \overline{x_2} - \overline{x}^2\,,$$ (6.53)

  
  
  da cui segue la deviazione standard.

  Quando ciascuna delle variabili statistiche compaiono ciascuna una volta il peso statistico è uguale per tutte $w_i=1/n$ e si ottiene:
  

  $$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_i x_i$$ (6.54)

  $$(x) = \frac{1}{n}\sum_i (x_i-\overline{x})^2$$ (6.55)

  
  

Analogalmente a quanto visto nel paragrafo 6.13 si possono definire momenti e altri indicatori di forma.

Siccome le strette analogie formali possono portare a confondere è opportuno fare delle osservazioni su simboli e terminologia.

• Il termine media viene usato per entrambe le distribuzioni, ma i termini che hanno un contenuto prettamente probabilistico o inferenziale, come valore atteso, previsione o speranza matematica, hanno solo senso se riferiti a distribuzioni di probabilità; a volte ci si riferisce alla media di una distribuzione statistica con il termine media campionaria^6.18.
• La media di distribuzioni statistiche è indicata generalmente con il simbolo $\overline{x}$;
• I termini varianza e deviazione standard sono usati pressoché indistintamente per entrambe le distribuzioni, anche se qualcuno tende ad usare il nome scarto quadratico medio preferibilmente per le distribuzioni statistiche, o insistere sull'aggettivo campionario, o sperimentale (o empirica), quando si fa riferimento a queste ultime.
• Anche i simboli Var$(\cdot)$, $\sigma^2$ e $\sigma$ sono usati quasi indifferendemente per entrambe le distribuzioni; molto spesso le quantità statistiche sono indicate usando il simbolo $s$ a posto di $\sigma$. Inoltre, per motivi di interferenza fra statistica descrittiva, $s^2$ è calcolata dividendo i quadrati degli scarti per $n-1$ anziché per $n$ (si noti come molti calcolatorini tascabili calcolano sia ``$\sigma_n$'' che `` $\sigma_{n-1}$'', oppure ``$\sigma$'' e ``$s$''. Siccome questo testo non ha la velleità di imporre degli standard di notazione, ma piuttosto vuole incoraggiare il lettore ad una certa flessibilità e ad evitare la pedanteria, invitiamo soltanto a prestare attenzione a specificare chiaramente cosa si sta facendo e ad interpretare correttamente il lavoro di altri. Siccome ci occupiamo principalmente di questioni probabilistiche, per $\sigma$ intendiamo la deviazione standard di una distribuzione di probabilità, oppure il ``parametro $\sigma$'' della gaussiana. Quando interverranno deviazioni standard su dati sperimentali o incertezze standard sul parametro $\sigma$ della gaussiana, cercheremo chiarire nel contesto di ogni discussione il significato dei simboli.