Limiti all'accuratezza delle misure - un esempio

Come esempio dell'impossibilità di arrivare a ``misure perfette'', consideriamo il semplice caso in cui si voglia determinare la lunghezza di un certo oggetto. Potrebbe essere ad esempio il lato di un foglio di metallo dalla forma rettangolare. La definizione operativa di misura implica il confronto fra l'oggetto da misurare e un campione del metro. Da tale confronto potrà risultare che la lunghezza $l$ dell'oggetto sia inferiore al metro, vale a dire $0 < l < 1$m. Supponiamo di ottenere, dal confronto dell'oggetto con i vari sottomultipli del metro, la seguente successione di risultati:

$0.2\,$m$$	$< l <$	$0.3\,$m,
$0.24\,$m$$	$< l <$	$0.25\,$m,
$0.247\,$m$$	$< l <$	$0.248\,$m,
$0.2473\,$m$$	$< l <$	$0.2474\,$m,

avendo assunto di poter interpolare, eventualmente con l'ausilio di qualche strumento ottico o meccanico, fra tacche contigue distanziate di un millimetro.

Siamo interessati a capire fino a che punto possiamo andare avanti con questo procedimento. È facile convincersi che non potremo mai giungere a determinare la lunghezza di interesse come il numero reale ``elemento di separazione fra due classi contigue''.

A mano a mano che tentiamo di determinare meglio la quantità di interesse incontriamo nuovi problemi: inizialmente sarà la rugosità delle superfici; poi l'effetto della dilatazione termica; poi ancora la lunghezza d'onda finita della luce con cui si illumina l'oggetto; si arriva alla fine - anche assumendo di poter utilizzare un ``microscopio ideale'' per il confronto - a problemi legati alla natura non continua della materia: dove finisce il foglio e dove comincia il non-foglio? Ma prima ancora di arrivare a questi limiti concettuali sorge il dubbio se veramente il nostro strumento di misura sia ``lungo un metro'', ovvero si dovrà affrontare il problema della riproducibilità e costanza del campione di misura. Non è difficile convincersi che il meglio a cui si potrà giungere è affermare che la lunghezza di interesse è compresa fra due valori

$$l_{min} < l < l_{max}\, .$$

A questo punto sorgono immediate delle domande:

• Quale significato dobbiamo attribuire all'espressione ``essere compresa''?
• Se si progetta un esperimento molto più preciso (ovvero dal quale ci attende un intervallo $[l_{min},l_{max}]$ molto più piccolo) quale risultato ci si dovrà aspettare?
• Se un secondo esperimento trova un intervallo
  $$l^\prime_{min} < l < l^\prime_{max}\, .$$
  diverso da quello del primo esperimento ed eventualmente in disaccordo da questo (ad esempio $l^\prime_{max} < l_{min}$) come ci si deve regolare? A quale dei due credere? Si possono eventualmente combinare le informazioni di entrambi gli esperimenti per aumentare il nostro grado di conoscenza sulla grandezza fisica di interesse?
• Supponendo di aver effettuato anche una misura di tempo, il cui risultato è anche in questo caso $t_{min} < t < t_{max}$, e di voler utilizzare la combinazione delle due misure per stimare la velocità media $v$ di un oggetto che ha percorso nel tempo $t$ la distanza $l$, come valutare l'intervallo entro cui è compreso il valore della velocità?

Tabella: Determinazioni della velocità della luce: $u$ ed $e$ rappresentano rispettivamente l'incertezza dichiarata dallo sperimentatore e la differenza (``errore'') rispetto al valore nominale di $299^\cdot 792^\cdot 458\,$m/s assunto esatto dal Bureau Interational des Poids et Mésures.

Anno	Sperimentatore	$c$	$u$	$e$	$e/u$
	(metodo)	(km/s)	(km/s)	(km/s)
$\approx 1600$	Galileo	$\infty$?	-	-	-
	(misure manuali)
1676	Roemer	214000	-	-86000	-
	(satelliti di Giove)
1729	Bradley	304000	-	+4000	-
	(aberrazione)
	(posizioni stellari)
1849	Fizeau	315300	-	+15300	-
	(ruota dentata)
1862	Foucault	298000	500	-1800	-3.6
	(specchio ruotante)
1879	Michelson	299910	50	+118	+2.4
	(specchio ruotante)
1906	Rosa & Dorsey	299781	10	-11	-1.1
	( $c=1/\sqrt{\mu_\circ\epsilon_\circ}$)
1927	Michelson	299798	4	+5.5	+1.4
	(specchio ruotante)
1950	Essen	299792.5	3.0	+0.04	+0.01
	(cavità a microonde)
1950	Bergstrand	299793.1	0.25	+0.64	+2.6
	(geodimetro)
1958	Froome	299792.5	0.1	+0.04	+0.4
	(interferometro )
	(a microonde)
1965	Kolibuyev	299792.60	0.06	+0.14	+2.3
	(geodimetro)
1972	Bay et al.	299792.462	0.018	+0.004	+0.2
	(da $c=\lambda\nu$; laser)
1973	Evenson et al.	299792.4574	0.0012	-0.0006	-0.5
	(da $c=\lambda\nu$; laser)
1974	Blaney et al.	299792.4590	0.0008	+0.0010	+1.25
	(da $c=\lambda\nu$; laser)
1983	B.I.P.M.	299792.458	0	0	-
	(assunto esatto)

Concludiamo questa discussione sull'incertezza di misura, mostrando in tabella 1.3 come si sia evoluta nel tempo la conoscenza della velocità $c$ della luce nel vuoto da Galileo ai nostri giorni.

Si può notare la diminuzione nel corso degli anni dell'errore, inteso come la differenza fra il risultato della misura e quello ``vero''. Esso è indicato con $e$ nella tabella. (Si ricorda che attualmente il valore della velocità della luce è assunto essere esatto, in quanto esso può essere riprodotto meglio di quanto non sia possibile riprodurre il metro. Quindi è la distanza ad essere grandezza derivata da velocità e tempo.)

Si nota nella tabella che, partire dalla metà del diciannovesimo secolo,^1.4 le misure di velocità della luce sono accompagnate da una stima quantitativa dell'incertezza (indicata con $u$ nella tabella 1.3 e non meglio definita per il momento se non qualitativamente come ``intervallo entro cui si crede ragionevolmente si trovi il valore della grandezza''). Il rapporto $e/u$, ovvero dell'errore di misura in unità di incertezza stimata, fornisce un'idea della bontà di stima dell'incertezza stessa. La tabella mostra come il valore attuale della velocità della luce differisce al più di qualche unità di $u$ dai valori misurati.