Distribuzione predittiva

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto la funzione $f(x\,\vert\,\mu)$, interpretata come funzione di verosimiglianza di ottenere un certo valore osservato data l'ipotesi $\mu$. Interessiamoci ora al problema di determinare veramente la probabilità di un valore ignoto. Ci rendiamo conto che $f(x\,\vert\,\mu)$ non è sufficente. Infatti non siamo interessati alla probabilità di $x$ per ogni ipotesi $\mu$, bensì alla probabilità che tenga conto di tutti i valori possibili di $\mu$, pesati con la loro plausibilità.

$$f(x\,\vert\,I) = \int\!f(x\,\vert\,\mu,I)\cdot f(\mu\,\vert\,I)\, \mu\,.$$ (11.102)

Nel caso in cui la conoscenza di $\mu$ ci deriva dall'aver osservato il singolo (o valore equivalente) valore (passato) $x_p$ con un esperimento avente deviazione standard $\sigma_e=\sigma_p$, e il valore (futuro) $x_f$ che andremo ad osservare deriverà da un esperimento con $sigma_e=\sigma_f$, abbiamo:

$$f(x_f\,\vert\,x_p) = \int\!\frac{1} {\sqrt{2\,\pi}\sigma_f } \,e^{-\frac{(x_f-\mu)^2}{... ...{1}{\sqrt{2\,\pi}\sigma_p} \,e^{-\frac{(\mu-x_p)^2}{2\,\sigma_p^2}} \mbox{d}\mu$$ (11.103)

$$= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\sqrt{\sigma_p^2+\sigma_f^2}} \,e^{-\frac{(x_f-x_p)^2}{2\,(\sigma_p^2+\sigma_f^2)}}\,,$$ (11.104)

con

$$(X_f) = x_p$$ (11.105)

$$\sigma(X_f) = \sqrt{\sigma_p^2+\sigma_f^2}\,.$$ (11.106)

Si noti come la distribuzione predittiva (11.104) descrive l'incertezza su un valore ignoto condizionata da una precedente osservazione, essendo sparito il ``metafisico'' valore vero (nel senso di non accessibile ai nostri sensi) $\mu$.

Figura: Schema di inferenza predittiva attraverso lo stadio intermedio ``metafisico'' $\mu$.

La figura 11.10 mostra lo schema di inferenza dall'osservazione certa $x_p$ all'osservazione (futura) incerta $x_f$ attraverso lo stadio intermedio non osservabile $\mu$.

Si noti in particolare il caso di $\sigma_f=\sigma_p=\sigma_\circ/\sqrt{n}$, ovvero di osservazioni equilavalenti ottenute nelle stesse condizioni sperimentali e con la stessa quantità di osservazioni individuali. Abbiamo $\sigma(X_f)=\sqrt{2}\sigma_\circ/\sqrt{n}$. In altri termini, riteniamo probabile al 52% che la nuova media cada entro $\pm\sigma_\circ/\sqrt{n}$ da quella precedente.^11.8