${\bf\circlearrowright }$ Esempi di variabili doppie discrete

Per chiarire alcuni dei concetti appena illustrati e per introduzione altre problematiche che seguiranno, facciamo l'esempio di costruzione di variabili doppie discrete a partire da eventi elementari.

Immaginiamo di dover effettuare una serie di esperimenti che consistono nel lancio di tre monete e nell'estrazione di una carta scelta a caso fra due. Per ogni moneta si può verificare Testa o Croce, mentre supponiamo che i valori delle due carte siano Asso ($A$) e Re ($R$). Per ogni evento possiamo costruire diverse variabili casuali, per esempio:

• $X$: numero di teste;
• $Y$: numero di croci;
• $Z$: numero di teste consecutive;
• $\Xi$: numero di assi;

Inoltre possiamo costruire a partire da queste tutte le possibili combinazioni di variabili multiple. Ci limitiamo alle variabili doppie $(X,Z)$, $(Y,Z)$, $(\Xi,X)$ e $(\Xi,Z)$. Riportiamo i risultati nella tabella 9.3

Tabella: Variabili casuali costruite sugli eventi elementari costituiti dai possibili esiti di tre lanci di monete e dell'estrazione di una carta da gioco: $X$: numero di teste; $Y$: numero di croci; $Z$: numero di teste consecutive; $\Xi$: numero di assi.

$e_i$	$X$	$Y$	$Z$	$(X,Z)$	$(Y,Z)$	$(\Xi,X)$	$(\Xi,Z)$
ATTT	3	0	2	(3,2)	(0,2)	(1,3)	(1,2)
ATTC	2	1	1	(2,1)	(1,1)	(1,2)	(1,1)
ATCT	2	1	0	(2,0)	(1,0)	(1,2)	(1,0)
ATCC	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(1,1)	(1,0)
ACTT	2	1	1	(2,1)	(1,1)	(1,2)	(1,1)
ACTC	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(1,1)	(1,0)
ACCT	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(1,1)	(1,0)
ACCC	0	3	0	(0,0)	(3,0)	(1,0)	(1,0)
RTTT	3	0	2	(3,2)	(0,2)	(0,3)	(0,2)
RTTC	2	1	1	(2,1)	(1,1)	(0,2)	(0,1)
RTCT	2	1	0	(2,0)	(1,0)	(0,2)	(0,0)
RTCC	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(0,1)	(0,0)
RCTT	2	1	1	(2,1)	(1,1)	(0,2)	(0,1)
RCTC	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(0,1)	(0,0)
RCCT	1	2	0	(1,0)	(2,0)	(0,1)	(0,0)
RCCC	0	3	0	(0,0)	(3,0)	(0,0)	(0,0)

Da questa tabella ci possiamo calcolare tutte le distribuzioni di probabilità di interesse applicando le relazioni viste nei paragrafi precedenti. Cominciamo con le variabili $(X,Z)$

$(x,z)$	$f(x,z)$
(0,0)	2/16
(1,0)	6/16
(2,0)	2/16
(2,1)	4/16
(3,2)	2/16

Da questa possiamo ricavare le distribuzioni marginali di $X$ e $Z$. Per esempio, per ottenere $f(x)$ bisogna , per ogni valore di $X$, ``integrare'' su tutti i valori di $Z$:

$$f(x) = \sum_{z=-\infty}^{+\infty} f(x,z).$$

$x$	$f(x)$
0	$2/16 = 1/8$
1	$6/16 = 3/8$
2	$(2/16 + 4/16) = 3/8$
3	$2/16 = 1/8$

$z$	$f(z)$
0	$(2/16 + 6/16 + 2/16) = 5/8$
1	$4/16 = 2/8$
2	$2/16 = 1/8$

Come si vede dalla tabella, la distribuzione marginale di una certa variabile calcolata dalla formula è esattamente quella che si otterrebbe esaminando la tabella ove sono riportati gli eventi elementari e ignorando tutte le altre variabili. Dalla distribuzione di probabilità di $(X,Z)$ ci possiamo costruire anche le distribuzioni condizionali $f(x\,\vert\,z)$. Come detto, di queste distribuzioni ne esiste una per ogni valore di $Z$. È interessante, in questo semplice caso, confrontare il risultato che si ottiene contando il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili con quello che si otterrebbe applicando le formule delle variabili condizionali viste sopra:

$x$	$f(x\vert z=0)$	$\frac{f(x,z=0)}{f(z=0)}$
0	$2/10 = 1/5$	$\frac{2/16}{5/8}=1/5$
1	$6/10 = 3/5$	$\frac{6/16}{5/8}=3/5$
2	$2/10 = 1/5$	$\frac{2/16}{5/8}=1/5$

$x$	$f(x\vert z=1)$	$\frac{f(x,z=1)}{f(z=1)}$
2	1	$\frac{4/16}{2/8}=1$

$x$	$f(x\vert z=2)$	$\frac{f(x,z=2)}{f(z=2)}$
3	1	$\frac{2/16}{1/8}=1$

Queste sono le altre distribuzioni di variabili doppie ottenibili dalla tabella degli eventi elementari^9.4:

$(y,z)$	$f(y,z)$
(0,2)	2/16
(1,0)	2/16
(1,1)	4/16
(2,0)	6/16
(3,0)	2/16

$(\xi ,x)$	$f(\xi ,x)$
(0,0)	1/16
(0,1)	3/16
(0,2)	3/16
(0,3)	1/16
(1,0)	1/16
(1,1)	3/16
(1,2)	3/16
(1,3)	1/16

$(\xi ,z)$	$f(\xi ,z)$
(0,0)	5/16
(0,1)	2/16
(0,2)	1/16
(1,0)	5/16
(1,1)	2/16
(1,2)	1/16

La distribuzione marginale di $\Xi$ è

$\xi$	$f(\xi)$
0	1/2
1	1/2

Come ultimo esempio ci costruiamo la distribuzione condizionale di $x$ sotto la condizione $\Xi=0$.

$x$	$f(x\vert\xi = 0)$	$\frac{f(x,\xi = 0 )}{f(\xi = 0)}$
0	1/8	$\frac{1/16}{1/2}=1/8$
1	3/8	$\frac{3/16}{1/2}=3/8$
2	3/8	$\frac{3/16}{1/2}=3/8$
3	1/8	$\frac{1/16}{1/2}=1/8$

Da quest'ultima tabella si vede che che la distribuzione di $X$ sotto la condizione $\Xi=0$ è uguale a quella marginale di $X$, contrariamente a quanto accadeva quando la variabile condizionante era $Z$. Questo corrisponde al fatto che, mentre lo stato di conoscenza del numero di teste consecutive condiziona il grado di fiducia del numero di teste, questo non è influenzato dal sapere se si è verificato un Asso o un Re.

Calcoliamo ora valori attesi di ciascuna variabile:

$$(X) = 0\cdot \frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8}$$

$$(Z) = 0\cdot \frac{5}{8} + 1\cdot \frac{2}{8} + 2\cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$$

$$(Y) = 0\cdot \frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8}$$

$$(\Xi) = 0\cdot \frac{8}{16} + 1\cdot \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Per quanto riguarda la deviazione standard, svolgiamo in dettaglio il calcolo di $\sigma(X)$, lasciando gli altri conti come esercizio:

$$(X^2) = 0^2\cdot \frac{1}{8} + 1^2\cdot \frac{3}{8} + 2^2\cdot \frac{3}{8} + 3^2\cdot \frac{1}{8} = \frac{24}{8}$$

$$(X) = \frac{24}{8} - \left(\frac{12}{8}\right)^2 = \frac{6}{8}$$

$$\sigma(X) = \sqrt{\frac{6}{8}} = 0.87$$

$$\sigma(Y) = \sqrt{\frac{6}{8}} = 0.87$$

$$\sigma(Z) = \sqrt{\frac{32}{64}} = 0.71$$

$$\sigma(\Xi) = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5$$

Per quanto riguarda le covarianze e coefficienti di correlazione abbiamo:

1. $(X,Z)$:
   

   $$(X\, Z) = 0\cdot \frac{5}{8} + 2\cdot \frac{2}{8} + 6\cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{8}$$

   $$(X\, Z) = \frac{10}{8} - \frac{12}{8}\cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ (9.33)

   $$\rho(X,Z) = 0.81 \hspace{0.5 cm} {\bf >\, 0}$$ (9.34)

   
   

2. $(Y,Z)$:
   

   $$(Y\, Z) = 0\cdot \frac{6}{8} + 1\cdot \frac{2}{8} = \frac{2}{8}$$

   $$(Y\, Z) = \frac{2}{8} - \frac{12}{8}\frac{4}{8} = - \frac{1}{2}$$ (9.35)

   $$\rho(Y,Z) = -0.81 \hspace{0.5 cm}{\bf <\, 0}$$ (9.36)

   
   

3. $(\Xi,Z)$:
   

   $$(\Xi\, Z) = 0\cdot \frac{13}{16} + 1\cdot \frac{2}{16} + 2\cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$

   $$(\Xi\, Z) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\frac{1}{2} \hspace{0.5 cm} =0$$ (9.37)

   $$\rho(\Xi,Z) {\bf =} {\bf0}$$ (9.38)

   
   

Il coefficiente di correlazione fra il numero di teste consecutive e il numero di teste è positivo; fra il numero di teste consecutive e il numero di croci è negativo; fra il numero di teste consecutive e il numero di assi è nullo. Questo è in accordo con quanto ci si aspetta da una grandezza atta a quantificare il grado di correlazione. È infatti chiaro che, sotto l'ipotesi che un evento contenga un alto numero di teste, cresce la probabilità di trovare due teste consecutive. L'effetto opposto avrebbe l'ipotesi che si verichino una grande numero di croci. L'ipotesi dell'uscita o meno di un asso non altera invece le probabilità degli esiti dei lanci delle monete, e viceversa.