${\bf\circlearrowright }$Matrice di covarianza e matrice di correlazione

Siamo giunti a sintetizzare l'incertezza su una coppia di variabili con tre valori: due varianze e una covarianza, o, equivalentemente, due deviazioni standard e un coefficiente di correlazione. Nel caso di $n$ variabili ($X_1$, $X_2$, ...$X_n$) servono

$$N=n + \frac{n\,(n-1)}{2} = \frac{n\,(n+1)}{2}$$ (9.29)

informazioni indipendenti.

Talvolta è preferibile utilizzare una rappresentazione compatta di queste grandezze mediante la cosidetta matrice di correlazione, una matrice quadrata i cui termini sono dati da

$$V_{i\,j} = \left[ (X_i-\mbox{E}(X_i)) (X_j-\mbox{E}(X_j))\right]\,.$$ (9.30)

Infatti, i termini diagonali (quando $i=j$) danno le varianze, mentre gli altri (quando $i\ne j$) danno le covarianze. In forma matriciale, abbiamo:

$$\mathbf{V} = \left(\begin{array}{cccc} \sigma^2_1 & \mbox{Cov}(X_... ...ox{Var}(X_1,X_n) & \mbox{Var}(X_2,X_n) & \cdots & \sigma^2_n \end{array}\right)$$ (9.31)

La matrice è simmetrica, come è facile verificare, e quindi i termini indipendenti sono esattamente $n\,(n+1)/2)$ come richiesto dalla (9.29).

Alternativamente, a volte può essere conveniente presentare l'incertezza dei dati mediante la matrice di correlazione, i cui elementi sono dati da

$$\rho(X_i,X_j) = \frac{V_{i\,j}}{\sigma_i\sigma_j}\,,$$

ovvero

$$\mathbf{R} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & \rho(X_1,X_2) & \cdots... ...dots & \cdots \\ \rho(X_1,X_n) & \rho(X_2,X_n) & \cdots & 1 \end{array}\right)$$ (9.32)

Come si vede, nel passaggio dalla matrice di covarianza alla matrice di correlazione si perdono le informazioni sulle $n$ deviazioni standard (gli elementi della diagonale sono tutti unitari). Quindi, qualora si preferisca questo modo di condensare la distribuzione, le deviazione standard devono essere fornite separatamente.