Problemi

Nota: alcuni di questi problemi possono richiedere elementi di calcolo combinatorio facilmente ricavabili intuitivamente.

1. Si lanciano due monete e si è interessati ai seguenti eventi $E_1=TT$, $E_2=CC$ e $E_3=TC$, ove $T$ e $C$ stanno per testa e croce. Quanto vale la probabilità dei tre eventi?

2. Quanto vale la probabilità che, lanciando due dadi regolari, esca un doppio 6?

3. Quanto vale la probabilità che, lanciando due dadi regolari, esca 4 in un dado e 5 nell'altro?

4. Il telecomando di un cancello elettrico ha un codice selezionabile mediante combinazione di dieci microinterruttori, ciascuno dei quali puo' assumere due posizioni. Quanto vale la probabilità che una persona che possiede un telecomando in grado di inviare impulsi radio alla frequenza corretta ma che non conosce il codice segreto riesca ad aprire il cancello al primo tentativo?

5. Una valigia ha due chiusure, ciascuna delle quali ha una serratura a codice decimale di tre cifre. Un'altra ha una sola serratura a codice decimale da sei cifre. Quale delle due valigie è più sicura?

6. Giocando all'enalotto^2.15 è più probabile che esca una colonna con tutti i simboli uguali (ad esempio 111111111111) oppure la colonna 11X21X1X12X2?

7. La poesia ``Cielo e mare'' di Giuseppe Ungaretti, che si esprime in

   M'illumino d'immenso

   è indubbiamente una delle più brevi della letteratura italiana. Quanto vale la probabilità di ottenere il testo della composizione battendo a caso su una tastiera di computer da 106 tasti? (Considerare equivalenti le lettere minuscole e maiuscole.)

8. Gettando tre dadi si può ottenere il numero 11 con le seguenti 6 triplette: (6,3,2), (6,4,1), (5,5,1), (5,4,2), (5,3,3) e (4,4,3). Anche il numero 12 può ottenere ottenuto con sei diverse triplette: (6,5,1), (6,4,2), (6,3,3), (5,5,2), (5,4,3) e (4,4,4). Quali dei due numeri ha maggiore probabilità di verificarsi?

9. Supponiamo di avere un quadrato di lato $a$ ed un cerchio di raggio $r=a$ il cui centro coincide con uno dei vertici del quadrato (figura 2.2). Supponiamo di generare dei punti distribuiti uniformemente all'interno del quadrato. Quanto vale la probabilità che un punto cada all'interno del quarto di cerchio contenuto nel quadrato?

   Figura: Quanto vale la probabilità che scegliendo a caso un punto nel quadrato di lato $a$ esso cada dentro il quarto di cerchio disegnato?

   

10. In una citta il numero di giovani che effettua la visita medica per il servizio militare in quattro anni successivi sono: 5467, 5511, 5437 e 5481. Di questi, coloro che non risultano abili al servizio sono, rispettivamente nei vari anni, 394, 386, 360 e 386. Stimare la probabilità che il cinquantesimo giovane visitato l'anno successivo risulti abile.

11. Viene registrata, per sei anni successivi, l'incidenza di una certa malattia fra la popolazione di un certo paese, ottenendo i seguenti valori: $0.50\,\%$, $0.85\,\%$, $0.80\,\%$, $1.31\,\%$, $1.26\,\%$, $1.72\,\%$. Quanto vale la probabilità che una persona sia affetta da quella malattia durante l'anno successivo?

12. Una persona si reca in una località di mare il 4 aprile di un certo anno e trova un tempo splendido che, a detta dei locali, dura ormai da oltre una settimana ed è previsto mantenersi per tutta la settimana successiva, come mostrato anche dalle foto da satellite. La sera, mentre si gode un eccezionale tramonto con degli amici, partecipa ad una discussione sulle previsioni del tempo. Alcuni affermano infatti che il giorno dopo potrebbe piovere in quanto negli ultimi 10 anni è sempre piovuto in occasione del 5 aprile. In base a queste informazioni, quanto vale la probabilità che piova il giorno dopo?

13. Consideriamo il quarto pronostico di un concorso di totocalcio, quanto vale la probabilità che si verifichi ``1'', ``X'' o ``2''?

14. Rispondere qualitativamente al problema precedente sapendo che tale pronostico è relativo al girone di ritorno, in cui la prima squadra in classifica ospita l'ultima.

15. Come varia la valutazione della probabilità del problema precedente se si venisse a conoscenza che da 10 giornate si è verificato sempre ``1'' al quarto pronostico?

16. Ammettiamo di sapere che negli ultimi anni la percentuale di studenti che supera l'esame relativo a questo corso sia stata del $63.5\,\%$ e che essa si sia mantenuta costante e indipendente dalle sessioni. Se Tu (nel senso di te e non di un'altra persona) dovessi sostenere tale esame Domani (nel senso di domani ...), in quanto stimi la probabilità di essere promosso?

17. Due semplici casi per i quali è facile dare una risposta banale, più complicato darne una ``seria''. Un nuovo farmaco viene somministrato a sei persone affette da una certa malattia e tutte guariscono: qual'è l'efficienza di tale farmaco per curare la malattia in oggetto? Rispondere alla stessa domanda nel caso che un altro farmaco venga somministrato a tre persone affette da un'altra malattia e nessuna guarisca.

18. Secondo la teoria dell'ereditarietà di Mendel, il carattere è determinato da geni alleli (geni omologhi con effetti differenti). Nel caso dei piselli, per esempio, i geni che determinano il colore dei semi si presentano in due alleli di cui uno dominante e l'altro recessivo. Se nella coppia di geni è presente almeno un gene dominante la pianta ha i semi gialli, altrimenti verdi. Indichiamo con $G$ e $g$ i due alleli, dove la notazione $g$ ricorda che il carattere ``seme verde'' (ovvero ``seme non giallo'') è recessivo. In ogni processo di riproduzione ciascuno dei genitori trasmette, con pari probabilità, uno dei suoi due geni.
    1. Se piselli omozigoti (ovvero con alleli identici) del tipo ($G$, $G$) sono incrociati con piselli del tipo ($g$, $g$), quanto vale la probabilità di ottenere discendenti aventi i genotipi ($G$, $G$), ($G$, $g$) e ($g$, $g$). Quanto vale la probabilità che essi presentino il carattere ``seme verde''?
    2. Supponiamo di lasciare incrociare fra di loro gli individui della prima generazione. Quanto vale la probabilità che nella seconda generazione si ottengano piselli dai semi gialli e verdi?
    3. Se i piselli ottenuti nella prima generazione sono incrociati con piselli dai semi verdi, quanto vale la probabilità di ottenere piselli dai semi verdi?
    4. Se i piselli gialli della seconda generazione sono incrociati con piselli verdi, quanto vale la probabilità di ottenere piselli dai semi verdi?
    5. Supponiamo di lasciar incrociare fra loro i soli piselli dai semi gialli ottenuti nella seconda generazione e di continuare la selezione nelle generazioni successive. Quante altre generazioni sono necessarie per ottenere piante con almeno il $99.9\,\%$ della specie dai semi gialli?

19. Continuando sul tema dell'esercizio precedente: non tutte le coppie di alleli seguono lo schema dominante/recessivo. Per esempio nella razza di bovini short horn il colore del manto è determinato da una coppia di alleli: la combinazione ($R$, $R$) produce individui rossi, la combinazione ($r$, $r$) individui bianchi e la combinazione ($R$, $r$) individui chiazzati, detti roani.
    • Se si incrocia un toro bianco con una mucca rossa, quanto vale la probabilità di ottenere un vitello bianco?
    • Quanto vale la probabilità di ottenere un roano dall'incrocio di due roani?
    • Supponiamo di ottenere dall'incrocio fra un toro e una mucca roani un certo numero di vitelli. Successivamente, ad ogni nuova generazione, facciamo in modo far accoppiare fra di loro soltanto animali dello stesso colore. Quanto vale la percentuale di roani alla prima, seconda, terza e quarta generazione?

20. Un circolo sportivo ha 1360 soci adulti, di cui: 400 uomini sposati e 350 celibi; 250 donne sposate e 360 nubili. Quanto vale la probabilità che, scelta a caso la cartellina di un socio, questo sia donna? Quanto vale la probabilità che sia donna se si sapesse che la persona in questione è sposata? Quanto vale invece la probabilità che la persona sia sposata sapendo che è un uomo?

21. Tre signore (``bionda'', ``mora'' e ``rossa'') si incontrano in treno e, conversando, si scambiano delle informazioni sulla loro vita privata. Dopo un po' entra nello stesso scompartimento anche un matematico. Questi si siede, ascolta distrattamente la conversazione fra le signore e, dopo un po', scende alla fermata successiva a quella nella quale era salito. Mentre si allontana ripensa un'attimo al fatto che, da quanto ha sentito, tutte le signore hanno due figli e che, inoltre: la bionda ha almeno un figlio maschio; il figlio maggiore della mora è maschio. Ne conclude che la probabilità che le signore abbiano entrambi i figli maschi è diversa nei tre casi. Ha ragione?

22. Un liceo ha 1000 studenti, di cui 600 sono maschi e 400 femmine. L' 80% delle ragazze fuma, mentre l'80% dei ragazzi non fuma. Quanto vale la probabilità che uno studente scelto a caso risulti maschio e fumatore? Incontrando lungo il corridoio uno studente, qual'è la probabilità che sia un fumatore? Sapendo invece che uno studente fuma, quanto vale la probabilità che sia un ragazzo?

23. Un modo per far scegliere al caso colui che deve fare qualcosa, molto più usato del lancio della monetina, è il ``pari o dispari'' giocato con le dita di una mano. Un ragazzo si accorge che sia lui che i suoi amici raramente tirano lo zero, mentre i numeri da 1 a 5 si presentano all'incirca con la stessa frequenza. Stanti queste ipotesi, se il ragazzo tira a caso un numero compreso fra 1 e 5, è conveniente che egli punti sul pari o sul dispari? È possibile sviluppare una strategia che aumenti ancora di più la probabilità di vincita?

24. Durante una trasmissione televisiva due concorrenti hanno la possibilità di vincere un premio. Il conduttore mostra loro tre scatole, spiega che in una di esse c'è l'assegno e che le altre sono vuote. Quindi li invita a scegliere ciascuno una scatola. Successivamente il primo concorrente apre la sua scatola e questa risulta vuota. Il conduttore offre allora all'altro concorrente la possibilità di scambiare la scatola che egli ha scelto con la terza rimasta. L'offerta è vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente?

25. Variazione sul tema. Durante una trasmissione televisiva un concorrente ha la possibilità di vincere un premio. Il conduttore gli mostra tre scatole, gli spiega che in una di esse c'è l'assegno e che le altre sono vuote e quindi lo invita a scegliere una scatola. Dopo che il concorrente ha scelto la scatola, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dichiara di conoscere in quale scatola è il premio. Dichiara inoltre che aprirà, fra le due scatole non scelte, una scatola che è sicuramente vuota. In effetti la scatola che apre non contiene il premio. A questo punto il conduttore offre al concorrente la possibilità di scambiare la scatola che egli ha scelto con la terza rimasta.

    L'offerta è vantaggiosa, svantaggiosa o indiferente? (Confrontare con il problema precedente e dare almeno una risposta intuitiva.)

26. Una persona ritiene che il prezzo equo di un biglietto che dà diritto ad un premio singolo di un milione di lire sia di 500 lire. Quanti biglietti sono stati venduti?

27. Un allibratore accetta scommesse su un incontro di pugilato fra $A$ e $B$. Nel caso di vittoria di $A$ egli è disposto a pagare 1.25 volte la puntata. Se vince $B$ pagherà invece 3.5 volte la puntata. Quale pugile viene ritenuto favorito? La scommessa sono eque? Quanto dovrebbero essere le vincite in caso di gioco equo, se l'allibratore ritenesse che le probabilità di vittoria sono 3/4 per $A$ e 1/4 per $B$?

28. Una persona dichiara che la probabilità che una moneta regolare e lanciata a caso dia testa è pari a 0.8, in quanto la valutazione soggettiva della probabilità gli consente di dire qualsiasi numero compreso fra 0 e 1. Cosa gli si può proporre per mettere alla prova la sua convinzione? E se avesse dichiarato 0.3?

29. Il montepremi di una lotteria di Capodanno è stato il seguente: sei premi principali rispettivamente da 6, 3, 2.5, 2, 1.6 e 1.2 miliardi di lire; 102 premi da 250 milioni; 252 premi da 50 milioni. Sapendo che sono stati venduti 30 milioni di biglietti a 5000 Lire l'uno, trovare il rapporto fra il prezzo del biglietto e la speranza matematica di vincita.

30. Un ragazzo, al riaprirsi delle scuole, effettua un rapido calcolo sui viaggi effettuati con gli autobus urbani nell'ultimo anno e stima di aver effettuato circa 1500 corse, durante le quali ha incontrato solo tre volte il controllore. Sapendo che il costo dell'abbonamento è di 50000 lire al mese, mentre l'eventuale multa costa 60000 lire, troverà più conveniente comprare l'abbonamento o utilizzare i soldi che riceve dalla famiglia per divertirsi?

31. Fra i problemi legati ai giochi d'azzardo dai quali ha tratto origine la teoria del calcolo delle probabilità c'è il caso (sottoposto dal Cavalier de Méré a Pascal nel 1654) della suddivisione della posta nel caso di gioco interrotto prima del termine.
    Supponiamo che si tratti di un gioco in cui valga il numero di partite vinte indipendentemente dal punteggio raggiunto in ciascuna di esse, che non si possano verificare delle patte e che al momento dell'interruzione ai due giocatori (di pari abilità e identificati con le lettere $A$ e $B$) manchino rispettivamente 2 e 3 partite per la vittoria. Quale è il criterio per suddividere la posta in palio fra i giocatori?
32. Un altro classico problema è illustrato in figura (``ago di Buffon''). Su un piano orizzontale vengono disegnate delle linee parallele distanti fra loro $2d$. Poi si lascia cadere (a caso) un ago di lunghezza $2a<2d$. Trovare la probabilità che l'ago tocchi una delle linee.

    Figura: Esperimento dell'ago di Buffon.

    

33. Si sa che una scatola contiene sicuramente due palline, ma esse possono essere entrambe dello stesso colore, oppure di colori diversi. Quanto vale la probabilità che esse siano entrambe dello stesso colore?
34. Ad una persona vengono presentate due buste e gli viene comunicato che ciascuna di esse contiene un assegno. La cifra dei due assegni è ignota, ma sicuramente uno dei due assegni è di un importo 10 volte l'altro. La persona può scegliere a caso una delle buste, aprirla, constatare il contenuto e dopo ha il diritto di decidere se cambiare l'assegno visto con quello dell'altra busta. Ammettiamo, per fissare le idee, che la busta contenga $100^\cdot000$ lire. Qual'è la decisione più conveniente? Discutere gli aspetti paradossali del problema.
35. Si immagini che l'offerta descritta nel problema precedente venga effettivamente rivolta ad una persona e che questa sia in serio dubbio se accettare o rifiutare lo scambio. Che probabilità sta - inconsciamente - attribuendo all'eventualità che l'altra busta contenga un assegno da un milione?
36. Sempre sul problema delle due buste: immaginiamo che questa scelta sia proposta ad uno studente dai suoi amici, con la variante che il rapporto fra il valore dei due assegni è di 1000. Lui apre la busta e trova 10000 lire. Cosa deciderà?
37. Si valuti il valore atteso della penalizzazione (con $S$ unitario per semplicità) e lo si confronti con quanto si otterrebbe se una persona pensa che la probabilità vale $p$ ma dichiara $p+\epsilon$.
38. Risolvere lo stesso quesito del problema precedente immaginando una regola di penalizzazione che dipenda dal modulo della differenza fra $P(E)$ e $\vert E\vert$.
39. I problemi 9 e 32 non presentano grande difficoltà di comprensione, ma ad essere rigorosi non dovrebbero comparire in questo capitolo. Quale valutazione di probabilità viene usata?