Valore atteso e deviazione standard

È abbastanza naturale pensare che se si lancia 1000 volte una moneta ci si aspetta un numero di teste intorno a 500. Nello stesso modo è ovvio aspettarsi che se si lancia un dado 20 volte si prevede che una certa faccia uscirà circa un sesto del numero di lanci, anche se chiaramente non potrà verificarsi $3.33$ volte. Verifichiamo come la definizione operativa di valore atteso sia in accordo con tale previsione intuitiva:

$$(X\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \sum _{x=0}^n x\, f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$$

$$= \sum _{x=0}^n x\, \frac{n!}{(n-x)!\,x!}\, p^x q^{n-x}$$

$$= \sum _{x=1}^n x\, \frac{n!}{(n-x)!\,x!} \, p^x\, q^{n-x}$$

$$= n\, p \sum _{x=1}^n \frac{(n-1)!}{(n-x)!\,(x-1)!} p^{x-1} q^{n-x}$$

$$= n\, p \sum _{y=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(n-1-y)!\,y!} p^{y} q^{n-1-y}$$

$$= n\, p\, (p+q)^{n-1}$$

$$= n\,p\,$$

avendo chiamato, per comodità $y=x-1$ e utilizzando le proprietà dei coefficienti binomiali (vedi paragrafo 3.2.6).

Per calcolare la varianza della distribuzione binomiale è conveniente, come al solito, partire dal valore atteso di $X^2$:

$$(X^2\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \sum _{x=0}^n x^2\, f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$$

$$= \sum _{x=0}^n x^2 \, \frac{n!}{(n-x)!\,x!} \, p^x\, q^{n-x}$$

$$= n\, p \sum _{x=1}^n \frac{x\,(n-1)!}{(n-x)!\,(x-1)!} p^{x-1} q^{n-x}$$

$$= n\, p \sum _{y=0}^{n-1} \frac{(1+y)\,(n-1)!}{(n-1-y)!\,y!} p^{y} q^{n-1-y}$$

$$= n\, p\,(1+(n-1)\,p)$$

$$= n\, p+n\, (n-1)\, p^2.$$

Da cui:

$$\sigma^2 = p\,(1-p)\,n = p\, q\, n$$

$$\sigma = \sqrt{p\, (1-p)\, n}=\sqrt{p\, q\, n}$$

Nella seguente tabella riportiamo nel caso di lanci di una moneta i valori attesi e la varianza del numero di teste.

$n$	$\mu$	$\sigma$	$\sigma /\mu$	$P(n/2)$
10	5	1.6	0.32	0.24
100	50	5.0	0.10	0.08
1000	500	16	0.032	0.025
10000	5000	50	0.010	0.010
1000000	500000	500	0.001	***

Si può osservare come al crescere di $n$ ci attendiamo sempre una maggiore dispersione di valori della variabile casuale intorno al valore atteso^7.1. In particolare, si noti come al crescere di $n$ il valore atteso diventi sempre meno probabile. Diminuisce invece la dispersione relativa, essendo il coefficiente di variazione pari a

$$v = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{n\, p\, q}}{n\, p} \propto \frac{1}{\sqrt{n}}\, .$$ (7.7)

Riassumendo, otteniamo che la previsione dei valori della variabile è uguale ad una frazione $p$ del numero di prove da effettuare, con una incertezza relativa di previsione inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero di prove.