Coefficienti binomiali

Consideriamo lo sviluppo della potenza $n$-ma del binomio $(a+b)^n$. Scriviamolo in dettaglio per i casi più semplici:

$$(a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b) = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a+b)^3 = (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a+b)^4 = (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)$$

$$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\,.$$

Da questi esempi si capisce già la relazione fra coefficienti dello sviluppo e il concetto di combinazione appena incontrato:

-

le potenze di ordine $n$ compaiono una sola volta, in quanto ottenute moltiplicando fra di loro tutti i primi o secondi termini del binomio, e questo può succedere una sola volta;

-

le potenze di ordine $n-1$ di $a$ (tanto per fissare le idee) compaiono quando vengono moltiplicate fra di loro $(n-1)$ volte $a$ e 1 volta $b$; questo può accadere $n$ volte, ovvero il numero di possibili scelte di $b$ sugli $n$ fattori $(a+b)$;

-

le potenze $n-2$ di $a$ derivano dalle possibili coppie di $b$, e così via.

Per questo motivo le espressioni

$$\binom{n}{r}$$

sono anche chiamate coefficienti binomiali. L'espressione generale dello sviluppo di un binomio diventa

$$(a+b)^n = a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2}b^2 + \cdots$$

$$+ \binom{n}{n-1} ab^{n-1} + + b^n$$

$$= \sum_{i=0}^n \left(\!\begin{array}{c} n\\ i \end{array}\!\right) a^{n-i} b^i$$ (3.9)

$$= \sum_{i=0}^n \frac{n!} {(n-i)!i!} a^ib^{n-i}\,.$$ (3.10)

Si noti il caso particolare di $a=b=1$. Per tali valori $(a+b)^n=2^n$ e la sommatoria diventa:

$$\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n\,.$$ (3.11)

La ben nota rappresentazione a triangolo dei coefficienti binomiali (chiamato ``di Pascal'' o ``di Tartaglia'') è mostrata in tabella 3.1.

Tabella: Rappresentazione a triangolo dei coefficienti binomiali.

$n$	Coefficienti binomiali																				$\sum_{i=0}^n \left(\!\begin{array}{c} n\\ i \end{array}\!\right)$
0																			1																			1
1																	1				1																	2
2															1				2				1															4
3													1				3				3				1													8
4											1				4				6				4				1											16
5									1				5				10				10				5				1									32
6							1				6				15				20				15				6				1							64
7					1				7				21				35				35				21				7				1					128
8			1				8				28				56				70				56				28				8				1			256