Combinazioni

In alcuni problemi non si ha interesse a distinguere fra le $(n)_r$ disposizioni semplici tutte quelle che contengono gli stessi oggetti ma che differiscono soltanto per l'ordine. Si parla allora di ``combinazioni di $n$ oggetti $r$ a $r$'', indicato con

$$\binom{n}{r}\,,$$

e letto ``n sopra r''. Esso si ottiene da $(n)_r$ dividendolo per il numero di ordinamenti diversi degli $r$ elementi:

$$\binom{n}{r} = \frac{(n)_r}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} \hspace{1.0 cm}(r\le n)\,.$$ (3.6)

Infatti, utilizzando la regola fondamentale del calcolo combinatorio e chiamando provvisoriamente $n_x$ il numero incognito che si vuole calcolare, abbiamo che il numero di possibili scelte di $r$ elementi fra $n$ senza ripetizione è pari al numero di combinazioni di $n$ oggetti $r$ a $r$, moltiplicato per il numero di ordinamenti degli $r$ elementi di ciascuna combinazione:

$$(n)_r = n_x \cdot r!\,,$$

da cui segue la (3.6). La quantità ``$n$ sopra $r$'' gode della proprietà di simmetria

$$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\,,$$ (3.7)

ovvero è equivalente considerare gli $r$ oggetti che si prendono o gli $n-r$ che si tralasciano. Vale anche la relazione

$$\binom{n}{n}=\binom{n}{0}=1\,,$$ (3.8)

la quale significa che c'è un solo modo di prendere o di tralasciare tutti di $n$ oggetti se non ci si interessa dell'ordine (formalmente anche ``0 sopra 0'' vale 1, ma non ha alcun significato applicativo).

Esempi di combinazioni sono mostrati nelle figure 3.1 e 3.2.

Negli esempi del punto 4 otteniamo: $376^\cdot 740$ squadre e 378 ( $=28\times 27/2$) strette di mano.