Numero di $r$-disposizioni semplici di $n$ oggetti

Figura: Numero di disposizioni semplici (senza ripetizione) di tre oggetti presi due a due. Quelle cerchiate corrispondono ad una scelta di disposizioni dalle quali le altre differiscono per l'ordine degli oggetti (come indicato dalle frecce). Il numero di disposizioni cerchiate corrisponde quindi al numeri di combinazioni di $n$ oggetti presi $r$ a $r$.

In alcuni problemi lo stesso oggetto non può essere messo contemporaneamente in più caselle, come succede quando si pensa a disposizioni di persone o di altri oggetti dei quali ne esiste uno per tipo, oppure quando tale condizione è richiesta nel problema. Quindi si ha un primo vincolo dovuto al fatto che il numero di caselle non può essere superiore al numero di oggetti:

$$r \le n\,.$$

Figura: Come figura 3.1 per $n=4$ e $r=3$.

In questo caso si hanno $n$ possibilità per la prima casella, a ciascuna di queste possono essere associate $n-1$ possibilità per la seconda e così via, fino a $n-r+1$ per la casella numero $r$ (vedi figura 3.1 per $n=3$ e $r=2$ e figura 3.2 per $n=4$ e $r=3$).

$$(n)_r = n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\ \cdots\ (n-r+1)$$ (3.3)

$$= n\cdot (n-1) \cdot (n-2)\ \cdots\ (n-r+1)\cdot \frac{(n-r)!}{(n-r)!}$$

$$= \frac{n!}{(n-r)!}\hspace{0.8 cm} (r\le n)\,.$$ (3.4)

Si è introdotto il simbolo $(n)_r$ per indicare il numero di $r$-disposizioni semplici (o ``senza possibili ripetizioni'') ed è stato moltiplicato numeratore e denominatore per $(n-r)!$ per semplificare il calcolo. Per riottenere la (3.3) dalla (3.4) anche nel caso $r=n$ (ovvero $(n)_n=n!$) si adotta la convenzione

$$0!=1\,.$$

Per i problemi del punto 2 otteniamo: $358^\cdot800$ parole e $\approx 857^\cdot181$ miliardi di squadre.

È da notare come anche l'operazione elementare di conteggio possa essere considerata come una $r$-disposizione con $r=1$.