Classificazione di eventi e rapporto segnale rumore

Figura: Schematizzazione in termini induttivi e deduttivi del problema dell'identificazione di particelle con strumento non ideale. Lo spessore delle freccie indica le direzioni favorite dei processi di deduzione e di induzione in questo esempio.

Supponiamo che un rivelatore abbia un'efficienza di identificazione delle particelle $\mu$ del 95% e una probabilità di confondere una particella $\pi$ per un $\mu$ del 2%. Se una particella viene identificata come $\mu$ si accende una lampadina ($L$). Conoscendo che le particelle del fascio contengono il 10% di $\mu$ e il 90% di $\pi$:

-

quanto vale la probabilità che, se si accende la lampadina, sia passato un $\mu$?

-

quanto vale la probabilità che, se non si accende la lampadina, sia passato un $\pi$?

-

Quanto vale il rapporto segnale rumore ($S/N$)? (Definiamo $S/N$ come probabilità di $\mu$ diviso probabilità di $\pi$ se si è accesa la lampadina, considerando la particella $\mu$ come ``segnale'', ovvero il fenomeno di interesse.)

-

Come cambiano i risultati se si pongono sul fascio due contatori aventi le stesse caratteristiche e funzionanti indipendentemente?

Schematizziamo, con il formalismo delle probabilità condizionate, le informazioni che abbiamo a disposizione e le domande a cui vogliamo rispondere (vedi figura 5.5).

$P(L\,\vert\,\mu) = 0.95$

è la probabilità che si accenda la lampadina se l'ipotesi ``$\mu$'' è vera, ossia se passa una vera particella $\mu$. Essa viene stimata attraverso la frequenza relativa con la quale si accende la lampadina quando il rivelatore viene esposto ad un fascio ``di soli $\mu$'' (ammettiamo che sia possibile). L'uso del valore di frequenza relativa implica che

-

le proprietà dei $\mu$ non cambiano con il tempo (e questo è pacifico);

-

il rivelatore e l'elettronica si comporteranno durante l'esperimento esattamente come si erano comportati durante il test (e questo può essere questionabile, ma assumiamo che sia vero).

$P(\overline{L}\,\vert\,\mu) = 0.05$

è la probabilità dell'evento complementare;

$P(L\,\vert\,\pi) = 0.02$

è la probabilità che la lampadina si accenda ``per errore'', nel senso che assumiamo che il rivelatore sia stato progettato per identificare i $\mu$ e quindi uno strumento perfetto darebbe^5.3 $P(L\,\vert\,\mu)=1$ e $P(L\,\vert\,\pi)=0$.

$P(\overline{L}\,\vert\,\pi) = 0.98$

, complementare a $P(L\,\vert\,\pi)$. Lo strumento ideale darebbe $P(\overline{L}\,\vert\,\pi) = 1$. Anche per questo dato valgono le note a proposito di $P(L\,\vert\,\mu)$.

$P_\circ(\mu) = 0.10$

è la probabilità iniziale che una particella che arrivi al rivelatore sia un $\mu$ in assenza dell'informazione che la lampadina si sia accesa o no. $P_\circ(\mu)$ sta per $P(\mu\,\vert\,H_\circ)$, dove $H_\circ$ include tutta l'informazione sulla composizione del fascio.

$P_\circ(\pi) = 0.90$:

probabilità iniziale dell'evento $\pi$. La somma $P_\circ(\mu)+P_\circ(\pi)$ deve dare 1, in quanto gli eventi $\mu$ e $\pi$ formano una classe completa di ipotesi rispetto a questo problema e sono relativi allo stesso stato di informazione $H_\circ$.

$P(\mu\,\vert\,L)$:

è la probabilità che la particella abbia attraversato il rivelatore sia un $\mu$ se la lampadina si è accesa. La complementare ad essa sarà $P(\pi\,\vert\,L)$.

Chiaramente ci sono tutte le condizioni di applicabilità del teorema di Bayes. Ne segue:

$$P(\mu\,\vert\,L) = \frac{P(L\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu)} {P(L\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu) + P(L\,\vert\,\pi)\cdot P_\circ(\pi)}$$

$$= \frac{0.95\times 0.1}{0.95\times 0.1 + 0.02\times 0.9}=0.84$$

$$P(\pi\,\vert\,L) = 1-P(\mu\,\vert\,L) = 0.16$$

$$P(\mu\,\vert\,\overline{L}) = \frac{P(\overline{L}\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu)} {P(\overline... ...,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu) + P(\overline{L}\,\vert\,\pi)\cdot P_\circ(\pi)}$$

$$= \frac{0.05\times 0.1}{0.05\times 0.1 + 0.98\times 0.9}=0.0056$$

$$P(\pi\,\vert\,\overline{L}) = 1- P(\mu\,\vert\,\overline{L}) = 0.994\,.$$

Siamo più sicuri che quando non si accende la luce sia passato un $\pi$ di quanto non lo siamo quando identifichiamo un $\mu$ nel caso contrario. Per capirne il motivo studiamo il rapporto segnale rumore nei due casi:

$$S/N (\mu/\pi) = \frac{P(\mu\,\vert\,L)}{P(\pi\,\vert\,L)} = \frac{P(L\,\vert\,\mu)}{P(L\,\vert\,\pi)}\cdot \frac{P_\circ(\mu)}{P_\circ(\pi)}$$

$$= 47.5\times \frac{1}{9} = 5.3$$

$$S/N (\pi/\mu) = \frac{P(\pi\,\vert\,\overline{L})}{P(\mu\,\vert\,\overline{L})} = \frac{P(\overline{L}\,\vert\,\pi)}{P(\overline{L}\,\vert\,\mu)}\cdot \frac{P_\circ(\pi)}{P_\circ(\mu)}$$

$$= 19.6 \times 9 = 176\,.$$

La migliore prestazione nella separazione dei $\pi$ dai $\mu$ non è quindi dovuta alle caratteristiche del rivelatore, bensì alla composizione del fascio.

Questo ci insegna che quando le condizioni sono di alto rumore

$$P_\circ(S) \ll P_\circ(N)$$ (5.18)

l'esperimento deve essere molto selettivo:

$$P(E\,\vert\,S) \gg P(E\,\vert\,N)\,,$$ (5.19)

dove $S$, $N$ e $E$ indicano genericamente segnale, rumore (inglese ``noise'') e esito.