Distribuzioni marginali

Dalla distribuzione di probabilità congiunta è possibile ottenere la distribuzione di probabilità di una delle variabili, ``sommando'' (in senso lato, che per il caso continuo equivale ad integrare) le probabilità di tutte le possibilità delle altre variabili per un certo valore della variabile di interesse. Nel caso discreto si ha, ad esempio rispetto alla $X$:

$$P(X=x_i) = \sum_jP(X=x_i, Y=y_j)\,.$$

Questa operazione è detta di marginalizzazione e la tabella 9.1 ne mostra un esempio (si noti come le distribuzioni di ciascuna delle variabili sono ottenute sommando ``a margine'' i valori della tabella della probabilità congiunta).

Tabella: Esempio di distribuzione congiunta e di marginalizzazione.

	$f(x,y)$
	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$$\begin{array}{c} f(y) \\ \downarrow \end{array}$$
$y_1$	0.08	0.05	0.01	0.10	0.24
$y_2$	0.11	0.07	0.12	0.02	0.32
$y_3$	0.10	0.08	0.14	0.12	0.44
$f(x)\rightarrow$	0.29	0.20	0.17	0.24
	$F(x,y)$
	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$$\begin{array}{c} F(y) \\ \downarrow \end{array}$$
$y_1$	0.08	0.13	0.14	0.24	0.24
$y_2$	0.19	0.31	0.44	0.56	0.56
$y_3$	0.29	0.49	0.76	1.00	1.00
$F(x)\rightarrow$	0.29	0.49	0.76	1.00

Figura: Visualizzazione qualitativa, mediante ``lego plot'', della distribuzione di probabilità di tabella 9.1: in alto $f(x,y)$ e in basso $F(x,y)$. Si faccia attenzione al fatto che la rappresentazione grafica non corrisponde esattamente alla distribuzione di partenza: perche?

Nel caso di variabili continue si ha^9.2:

$$f(x) = \int f(x,y)dy\,,$$ (9.2)

e analogalmente per $f(y)$, integrando su $x$. Le distribuzioni ottenute con questa operazioni sono chiamate distribuzioni marginali. Sia chiaro che, in principio, tale appellativo dovrebbe essere superfluo, in quanto ogni distribuzione di una sola variabile può essere pensata come una marginale rispetto ad altre infinite variabili che non interessano. In sostanza, quando si parla esplicitamente di distribuzione marginale, significa semplicemente che si sta facendo riferimento ad una distribuzione congiunta di partenza. Si noti inoltre l'interpretazione della marginale come, per così dire, ``proiezione'' della congiunta (non da prendere in modo rigoroso nel senso geometrico).