Variabili casuali doppie continue

Per introdurre le variabili continue partiamo dalla funzione di ripartizione:

$$F(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(x^\prime,y^\prime)\, dx^\prime dy^\prime.$$

In questo caso l'elemento infinitesimo di probabilità è pari a:

$$dF(x,y) = f(x,y)dxdy\,.$$

Esso ha il significato di

$$P[(x\le X \le x + dx) \cap (y\le Y\le y+dy)]\,.$$

La funzione densità di probabilità, ottenuta dalla funzione di ripartizione come

$$f(x,y) = \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}\,,$$

rappresenta invece il grado di fiducia del punto $(x,y)$, come discusso al momento di introdurre le variabili continue. Le proprietà della densità di probabilità congiunta $f(x,y)$ sono analoghe al caso unidimensionale visto nel capitolo precedente. Ricordiamo soltanto che $f(x,y)$ ha le dimensioni inverse di $X\cdot Y$ e che la condizione di normalizzazione diventa:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx dy=1\,.$$