Variabili casuali doppie discrete

Il concetto di distribuzione di probabilità si estende in modo naturale alle variabili multiple. Cominciamo anche in questo caso con le variabili discrete e, per semplicità, con il caso bidimensionale. L'estensione al caso generale è immediato. La funzione di probabilità è^9.1:

$$f(x,y) = P(X=x, Y=y)\,,$$ (9.1)

la quale è definita non negativa e compresa fra 0 e 1. Le possibili coppie di valori di $X$ e $Y$ (o il vettore, o n-tupla, di dimensione 2), ciascuna con il suo grado di fiducia $f(x,y)$, danno luogo alla distribuzione congiunta delle variabili.

La condizione di normalizzazione richiede che la somma su tutte le coppie sia pari a 1. Questo può essere scritto in diversi modi.

• Si può pensare a ciascuna coppia come un punto $\bf {R}$ del piano ($X$,$Y$) e ordinata mediante l'indice $i$. La somma delle probabilità sommare su tutti gli $n_R=n_X\times n_Y$ punti deve dare 1:
  

  $$\sum_{i=1}^{n_R}P({\bf R_i}) = \sum_{i=1}^{n_R}P(X=x_i,Y=y_i) = \sum_{i=1}^{n_R}f(x_i,y_i) = 1\,.$$

  
  

• Si può indicare la variabile $X$ con l'indice $i$, la $Y$ con $j$ e sommare su tutte le possibilità degli indici:
  

  $$\sum_{i,j}P(X=x_i,Y=y_j) = \sum_{i,j} f(x_i,y_j) =1\,.$$

  
  
  Facciamo un esempio che chiarisca l'uso del simbolo $\sum_{i,j}$. Se la variabile $X$ può assumere 3 valori e la variabile $Y$ 2 valori si ha che
  

  $$\sum_{i,j}f(x_i,y_j) = f(x_1,y_1) + f(x_1,y_2) + f(x_2,y_1)$$

  $$+f(x_2,y_2) + f(x_3,y_1) + f(x_3,y_2)$$

  
  

• si può infine scrivere più semplicemente
  

  $$\sum_{x,y}f(x,y) = 1\,,$$

  
  
  intendendo semplicemente che la sommatoria corre su tutti i possibili valori di $x$ e di $y$.

Anche in questo caso si definisce una funzione di ripartizione, in perfetta analogia al caso unidimensionale:

$$F(x_k,y_l) = P(X\leq x_k,\, Y\leq y_l) = \sum_{\begin{array}{l} x_i\leq x_k \\ x_j\leq x_l \end{array}} f(x_i,y_l),$$

Essa soddisfa le seguenti proprietà:

1. $F(x,y)$ è non decrescente, ossia $F(x_1,y_1)\leq F(x_2,y_2)$ se $x_1<x_2$ e $y_1<y_2$;
2. $F(x,y)$ tende a 0 per $(x\rightarrow -\infty, y\rightarrow -\infty)$;
   $F(x,y)$ tende a 1 per $(x\rightarrow +\infty, y\rightarrow +\infty)$;
3. $F(x,y)$ è continua a destra;
4. $f(x_i,y_i) = F(x_i,y_i) - F(x_{i-1},y_{i-1})$.

La tabella 9.1 mostra un esempio di distribuzione doppia di variabili discrete.