Distribuzione normale

Una distribuzione, in principio simile alla esponenziale doppia per quanto riguarda la simmetria rispetto al valore centrale e l'estensione a grandissimi scarti, ma che meglio si presta a descrivere moltissimi casi di interesse è quella in cui i gradi di fiducia vanno come

$$f(x)\propto e^{-h\, (x-x_m)^2}\,,$$

ove $h$ è una costante positiva. Questa funzione, opportunamente normalizzata, è nota come funzione di Gauss, o gaussiana. Essa deve il nome a Karl Friederick Gauss, che la propose per la descrizione delle deviazioni delle misure astronomiche rispetto al loro andamento medio. Egli ipotizzò infatti che tali deviazioni fossero dovute ad errori casuali di misura e, in base ad argomenti abbastanza generali, derivò una funzione densità di probabilità del tipo appena mostrato (vedi paragrafo 11.4. Stanti i forti argomenti teorici per ritenere che gli errori casuali debbano seguire tale distribuzione (vedi paragrafo 10.15 e 11.2) e la effettiva compatibilità dei dati sperimentali con tale ipotesi, viene comunemente detto che gli errori casuali ``seguono normalmente'' tale distribuzione e la distribuzione stessa è perciò chiamata anche distribuzione normale.

Imponendo la condizione di normalizzazione e ridefinendo opportunamente i parametri in modo tale da far apparire esplicitamente valore atteso e deviazione standard della distribuzione otteniamo la forma nella quale essa è comunemente conosciuta:

$$f(x\,\vert\,{\cal N}(\mu,\sigma)) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{... ... < +\infty \\ -\infty < \mu < +\infty\\ 0 < \sigma <\infty \end{array}\right.$$ (8.15)

Quindi (anche se non lo dimostriamo):

$$(X) = \mu$$

$$(X) = \sigma^2\,.$$

Questa distribuzione ricopre un ruolo notevole non soltanto per la descrizione degli errori casuali, ma anche perchè essa risulta essere la distribuzione a cui tendono, sotto condizioni generali che descriveremo, molte altre distribuzioni, comprese la binomiale e la poissoniana.

Elenchiamo le sue proprietà principali:

• come detto, ha due parametri, $\mu$ e $\sigma$, che corrispondono al valore atteso e alla deviazione standard^8.1;
• presenta una tipica forma a campana;
• è simmetrica intorno alla media, ovvero $f(\mu+x)=f(\mu-x)$; la media coincide con il massimo della distribuzione (ricordiamo, moda) e con il punto che i valori della variabile casuale in due regioni di uguale probabilità (ricordiamo, mediana).
• il valore massimo della distribuzione (nel punto $X=\mu$) è inversamente proporzionale alla deviazione standard^8.2:
  $$f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,;$$

• presenta due punti di flesso in corrispondenza di $\mu-\sigma$ e $\mu+\sigma$;
• è definita per tutti i valori di $X$, ma assume valori trascurabili per valori distanti più di ``alcune'' $\sigma$ dalla media.

Figura: Esempi di distribuzione normale.

La figura 8.5a mostra degli esempi di distribuzione normale, per alcuni valori di $\mu$ e di $\sigma$. Nella figura 8.5b è anche riportata, per ciascuna $f(x)$, la relativa funzione di ripartizione^8.3 $F(x)$, la cui espressione matematica è data, per definizione::

$$F(x\,\vert\,{\cal N}(\mu,\sigma))=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}} z$$ (8.16)

Purtroppo l'integrale non ha una forma semplice. Vedremo nel prossimo paragrafo come valutarla mediante opportune tabelle. Anche senza l'espressione analitica, possiamo elencare alcune proprietà della funzione di ripartizione, ottenibili direttamente da quelle della $f(x)$:

• ha una forma di ``$s$ allungata'' (sigmoide) con asintoti orizzontali per $x\rightarrow\pm\infty$;
• assume il valore $0.5$ per $x=\mu$, in quanto $F(\mu)=P(X\le\mu)=0.5$;
• ha un andamento pressoché lineare intorno a $\mu$, con pendenza inversamente proporzionale a $\sigma$;
• ha un punto di flesso, ovvero cambia curvatura, in corrispondenza di $\mu$.

Figura: Rappresentazione su scala delle ordinate logaritmica della distribuzione normale standardizzata ( ${\cal N}(0,1)$).

Per fare apprezzare meglio gli andamenti delle code della distribuzione la figura 8.6 mostra su su scala logaritmica la distribuzione normale avente $\mu=0$ e $\sigma=1$.

Figura: Distribuzioni di Laplace, di Gauss, triangolare e uniforme aventi E$(X)=0$ e $\sigma (X)=1$.