Regola generale

Consideriamo due variabili casuali di partenza, $X$ e $Y$, e soltanto una variabile, $Z$, funzione di esse:

$$Z=g(X,Y)\,.$$

Cominciamo dal considerare il caso in cui $Z$ assuma un certo valore $z$ per la sola combinazione della variabili $X=x$ e $Y=y$. Chiaramente, la probabilità di $Z=z$ sarà uguale alla probabilità che si verifichino esattamente questi valori di $X$ e di $Y$:

$$f(z)=P(Z=z) = P(X=x,Y=y) = f(x,y) \ g(x,y)=z$$ (10.4)

Quando ci sono invece più coppie che contribuiscono al valore $Z=z$, bisogna sommare su tutte le loro probabilità:^10.3

$$f(z) = \sum_{\begin{array}{c}x,y \\ g(x,y)=z\end{array}} f(x,y)$$ (10.5)

Come esempio, si veda la somma degli esiti nel lancio di due dadi, già mostrato nel paragrafo 6.4 (vedi anche figura 6.2). Si noti come l'alta probabilità per valori centrali della somma sia dovuto soltanto al fatto che questi valori possono essere causati da più combinazioni di quelli estremi.

La (10.5) si estende facilmente al caso di più funzioni. Ad esempi, considerando anche la variabile $V=f(X,Y)$, la congiunta è data da:

$$f(z,v) = \sum_{\begin{array}{c}x,y \\ g(x,y)=z \\ h(x,y)=v\end{array}} f(x,y)$$ (10.6)

Anche se l'impostazione della (10.6) è semplice, il calcolo che permette di ottenere delle formule analitiche può essere molto complicato, ben al di là dello scopo di questo corso. Vediamo soltanto nei prossimi paragrafi alcuni sottocasi molto istruttivi.