Incertezza sullo zero dello strumento

Supponiamo di avere uno strumento le cui letture dipendono da una costante di calibrazione che determina la lo zero dello strumento (``offset''). Se lo strumento è stato calibrato al meglio, crediamo che lo zero nominale corrisponderà conlo zero vero, ma non ne possiamo essere assolutamente certi, in quanto il processo stesso di calibrazione è soggetto ad incertezze. Chiamiamo lo zero vero $Z$ e modellizziamo la nostra incertezza su di esso con una gaussiana di valore medio zero e deviazione standard $\sigma_Z$, ovvero E$(Z)=0$ e $\sigma(Z)=\sigma_Z$:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_Z}e^{-z/2\,\sigma^2_Z}\,.$$ (11.31)

Benché crediamo che la risposta dello strumento può essere descritta da una gaussiana, essa lo sarà non intorno a $\mu$, bensì intorno a $\mu+z$, ovvero la verosimiglianza sarà

$$f(x\,\vert\,\mu,z)= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_e} \,\exp{\left[-\frac{(x-(\mu+z))^2}{2\,\sigma_e^2}\right]}\,.$$ (11.32)

Come prior vaga per $\mu$ continuiamo ad utilizzare la distribuzione uniforme. Otteniamo che l'inferenza condizionata ai possibili valori di $Z$ è data da

$$f(\mu\,\vert\,x,z)= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sigma_e} \,\exp{\left[-\frac{(\mu-(x+z))^2}{2\,\sigma_e^2}\right]}\,.$$ (11.33)

Applicando la formula generale (11.30) al nostro caso particolare otteniamo

$$f(\mu\,\vert\,x)= \int_{-\infty}^{+\infty}\! \frac{1}{\sqrt{2\,\p... ...{2\,\pi}\,\sigma_Z} \exp{\left[-\frac{z^2}{2\,\sigma_Z^2}\right]} \,\rm {d}z\,,$$ (11.34)

ottenendo^11.6

$$f(\mu\,\vert\,x) = \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\,\sqrt{\sigma_e^2+\sigma_Z^2}} \,\exp{\left[-\frac{(\mu-x)^2} {2\,(\sigma_e^2+\sigma_Z^2)}\right]}\,,$$ (11.35)

da cui segue la previsione

$$(\mu) = x$$ (11.36)

$$\sigma(\mu) = \sqrt{\sigma_e^2+\sigma_Z^2}\,.$$ (11.37)

Il valore atteso di $\mu$ è ancora $x$, ma l'incertezza aumenta, come effetto dell'incertezza sulla costante di calibrazione. L'incertezza su $\mu$ dovuta ai soli effetti casuali si combina in quadratura con quella di calibrazione della costante di zero.

È interesante vedere cosa succede se, invece di una singola misura abbiamo una singola osservazione equivalente (nel senso del paragrafo 11.2), costituita dalla media $\overline{x}$ di $n$ osservazioni individuali. Avremo allora

$$(\mu) = \overline{x}$$ (11.38)

$$\sigma(\mu) = \sqrt{\left( \frac{\sigma_e} {\sqrt{n}}\right)^2+\sigma_Z^2}\,.$$ (11.39)

Questo ci insegna che, anche effettuato un ``numero infinito'' di misure, l'incertezza non si annullerà mai, in quanto, ad un certo livello, interverranno sempre effetti sistematici che saranno dominanti ai fini dell'incertezza. La (11.39) ci insegna anche come pianificare l'esperimento per bilanciare correttamente numero di osservazioni e controllo della sistematica. Si noti comunque che le cose possono cambiare, se il risultato va opportunamente combinato. Ad esempio se misuriamo con lo stesso strumento $\mu_1$ e $\mu_2$ e siamo poi interessati alla loro differenza, ha senso arrivare anche a $\sigma_e/\sqrt{n} \ll \sigma_Z$. Di questo parleremo nel paragrafo 11.6.3.