${\bf\circlearrowright }$ Previsione di frequenza relativa e legge dei grandi numeri

Consideriamo la distribuzione binomiale degli $X$ successi su $n$ prove. Dividendo il numero di successi per il numero di prove otteniamo una nuova variabile casuale

$$W=\frac{X}{n}$$

associata alla frequenza relativa di successi. La distribuzione di $W$ può essere ricavata direttamente dalla binomiale in quanto

$$P(W=\frac{x}{n}) = P(X=x)\,.$$

L'espressione della distribuzione di probabilità di $W$ si ottiene direttamente da quella di $X$:

$$f(w\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) = \binom{n}{n w} \, p^{n w}\, (1-p)^{... ... 0 \le p \le 1 \\ w = 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}\ldots, 1 \end{array}\right.$$ (7.32)

Per il valore atteso e la sua incertezza abbiamo:

$$(W) = \left[\frac{X}{n}\right] = \frac{\mbox{E}(X)}{n} = \frac{n\,p}{n} = p$$ (7.33)

$$\sigma(W) = \frac{\sigma(X)}{n} = \frac{\sqrt{n\,p\,q}}{n} = \frac{\sqrt{p\, q}}{\sqrt{n}}$$ (7.34)

La previsione della frequenza relativa è pari alla probabilità di ciascuno dei processi elementati di Bernoulli. Inoltre l'incertezza di previsione decresce come $1/\sqrt{n}$, ovvero al crescere di $n$ diventa sempre meno probabile trovare valori di frequenza che differiscono molto dalla probabilità. Questo è uno dei modi di esprimere la legge dei grandi numeri, sulla quale ritorneremo con maggiore dettaglio nel capitolo 10.

Per ora utilizzeremo la variabile casuale frequenza relativa per parlare delle previsioni di distribuzioni statistiche e per introdurre la problematica della verifica delle leggi statistiche.