next up previous contents
Next: Assenza di memoria di Up: Processo di Poisson - Previous: Tempo di attesa del   Indice

Vita media di decadimento

Supponiamo di avere un nucleo radioattivo (o una particella subnucleare instabile) per il quale la probabilità di decadimento sia indipendente dal tempo, ovvero $ dp=r\,dt$. Per quanto detto a proposito del processo di Poisson, l'istante di decadimento del nucleo a partire da un certo istante scelto arbitrariamente è descritto da una distribuzione esponenziale di parametro $ r$. Il valore atteso del tempo di decadimento è pari a $ \tau =1/r$, chiamato anche vita media di decadimento. È interessante calcolare il tempo tale che ci sia il 50% di probabilità che la particella sia già decaduta (ovvero la mediana della distribuzione):

$\displaystyle P(T\le t_{1/2}) = 1-e^{-t/\tau}=0.5\,,$

ovvero

$\displaystyle t_{1/2} = \tau\,\ln{2}\,.$

La mediana è chiamata, in questa applicazione, anche tempo di dimezzamento. Per capire meglio il suo significato, consideriamo $ N_\circ$ nuclei all'istante $ T=0$, inizio delle nostre osservazioni, e calcoliamoci previsione e incertezza di previsione del numero di nuclei che sono rimasti non decaduti all'istante $ t$. Dobbiamo considerare una distribuzione binomiale avente $ n=N_\circ$ e $ p=e^{-t/\tau}$ e, quindi, di valore atteso e deviazione standard
E$\displaystyle (N)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N_\circ e^{-t/\tau}$  
$\displaystyle \sigma(N)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{N_\circ} \sqrt{e^{-t/\tau}\,(1-e^{-t/\tau})} \xrightarrow[t \ll \tau]{}\sqrt{\mbox{E}(N)}\,.$  

Dopo un tempo $ t=t_{1/2}$ il numero iniziale di nuclei si è dimezzato. Si noti inoltre come, per $ N_\circ$ molto grandi (tipicamente si considerano numeri dell'ordine di grandezza del numero di Avogadro) $ \sigma(N)/$E$ (N)$ è molto minore di 1 anche per $ t$ abbastanza maggiore della vita media. Quindi la previsione del numero di nuclei non decaduti può essere considerata con ottima approssimazione una predizione deterministica che obbedisce ad una legge del tipo

$\displaystyle N(t)=N_\circ e^{-t/\tau}\,,$

soluzione dell'equazione differenziale

$\displaystyle \frac{\mbox{d}N}{\mbox{d}t}=-r\,N=-\frac{1}{\tau}N\,.$

Essa può essere espressa dicendo che ``il numero di decadimenti nell'unità di tempo è proporzionale al numero di nuclei, con un fattore di proporzionalità pari all'inverso della vita media di decadimento''.

next up previous contents
Next: Assenza di memoria di Up: Processo di Poisson - Previous: Tempo di attesa del   Indice
Giulio D'Agostini 2001-04-02