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$ F$

La distribuzione di Fisher (o di Fisher-Snedecor) chiamata anche semplicemente $ F$ è data da

$\displaystyle f(x\,\vert\,$F$\displaystyle (\nu_1,\nu_2))=\frac{\nu_1^{\frac{\nu_1}{2}} \nu_2^{\frac{\nu_2}{...
...2}}} \hspace{1.0cm}\begin{array}{l} x\ge 0 \\  \nu_1,\,\nu_2 > 0 \end{array}\,,$ (8.50)

Talvolta la variabile che segue la distribuzione $ F$ è indicata anch'essa con il simbolo $ F_{\nu_1,\nu_2}$. I parametri $ \nu_1$ e $ \nu_2$, non necessariamente intero è detti numeri di gradi di libertà. Valore atteso e varianza sono:
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\nu_2}{\nu_2-2} \hspace{0.5cm} ($se $\displaystyle \nu>2)$ (8.51)
Var$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\nu^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}
\hspace{0.5cm}($se $\displaystyle \nu_2>4).$ (8.52)

La moda vale $ \nu_2(\nu_1-2)/[\nu_1\,(\nu_2+2)]$ se $ \nu_1>2$, altrimenti essa vale 0.

La proprietà che rende interessante la distribuzione di Fisher è la seguente: se due variabili $ chi^2_{\nu_1}$ e $ \chi^2_{\nu_2}$ sono indipendenti, allora il rapporto fra le due variabili, ciascuna divisa per il proprio numero di gradi di libertà, è distribuita secondo una $ F$:

$\displaystyle \frac{\chi^2_{\nu_1}/\nu_1}{\chi^2_{\nu_2}/\nu_2} \sim F(\nu_1,\nu_2)\,.$ (8.53)


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Giulio D'Agostini 2001-04-02