$F$

La distribuzione di Fisher (o di Fisher-Snedecor) chiamata anche semplicemente $F$ è data da

$$f(x\,\vert\, (\nu_1,\nu_2))=\frac{\nu_1^{\frac{\nu_1}{2}} \nu_2^{\frac{\nu_2}{... ...2}}} \hspace{1.0cm}\begin{array}{l} x\ge 0 \\ \nu_1,\,\nu_2 > 0 \end{array}\,,$$ (8.50)

Talvolta la variabile che segue la distribuzione $F$ è indicata anch'essa con il simbolo $F_{\nu_1,\nu_2}$. I parametri $\nu_1$ e $\nu_2$, non necessariamente intero è detti numeri di gradi di libertà. Valore atteso e varianza sono:

$$(X) = \frac{\nu_2}{\nu_2-2} \hspace{0.5cm} ( \nu>2)$$ (8.51)

$$(X) = \frac{2\nu^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)} \hspace{0.5cm}( \nu_2>4).$$ (8.52)

La moda vale $\nu_2(\nu_1-2)/[\nu_1\,(\nu_2+2)]$ se $\nu_1>2$, altrimenti essa vale 0.

La proprietà che rende interessante la distribuzione di Fisher è la seguente: se due variabili $chi^2_{\nu_1}$ e $\chi^2_{\nu_2}$ sono indipendenti, allora il rapporto fra le due variabili, ciascuna divisa per il proprio numero di gradi di libertà, è distribuita secondo una $F$:

$$\frac{\chi^2_{\nu_1}/\nu_1}{\chi^2_{\nu_2}/\nu_2} \sim F(\nu_1,\nu_2)\,.$$ (8.53)