pzd100Regola di penalizzazione - il bastone e la carota

C'è ancora un punto interessante da discutere, legato ai guadagni e alle stime puramente soggettive della probabilità. Nei casi in cui non si possa fare uso né di ragionamenti di simmetria né di dati sperimentali per riaggiornare le nostre probabilità soggettive secondo lo schema che mostreremo nel capitolo , bisogna affidarsi all'``intuito''. L'esperienza mostra come tali valutazioni di probabilità non siano affatto arbitrarie e, in effetti, ci sono esperti che tendono ad ``indovinare'' le previsioni meglio della gente comune.

Il concetto stesso di ``esperto'' implica una solida esperienza nel proprio settore, sia esso calcio, poker, finanza, politica, marketing, etc. Una delle caratteristiche di queste persone è quella di avere, oltre ad una conoscenza approfondita del problema, una notevole abilità a imparare dall'esperienza, sia in caso di pronostici ``indovinati'' che ``sbagliati''. È chiaro che, essendo i pronostici di tipo probabilistico (nessun consulente è disposto a mettere la mano sul fuoco che quello che riterrà molto probabile si verificherà veramente) il concetto di indovinare o meno è legato a quanto spesso non accade un evento giudicato molto probabile, o quanto spesso ne accade uno poco probabile. Quindi una possibile misura della qualità della previsione potrebbe essere la differenza fra la probabilità dell'evento e il suo valore logico (0 o 1) una volta che esso passa dallo stato di incertezza a quello di certezza. Quindi si può ricompensare l'esperto in base alla sua abilità.

Il metodo più conosciuto, e anche effettivamente applicato in ambienti in cui è importante aguzzare l'ingegno degli esperti è quello della regola della penalizzazione. Al posto di ricompense si applicano sempre delle penali, proporzionali al quadrato della differenza fra probabilità e indicatore (di verità) $\vert E\vert$ dell'evento dopo che è passato dallo stato di incertezza a quello di certezza ($\vert E\vert$ vale 1 o 0 a seconda che l'evento si verifichi o meno):

$$= S\cdot \left(P(E) - \vert E\vert\right)^2\,.$$ (2.19)

$S$ è un fattore di scala tale da dissuadere le persone dal bluffare. La scelta della dipendenza quadratica dallo scarto è dovuto al fatto che essa è quella più semplice che obbliga ad esprimere la valutazione di probabilità della quale si è veramente convinti. Questo aspetto sarà mostrato fra i problemi. Concludiamo con delle osservazioni su tale procedura:

• c'è sempre una penale, a meno che non si verifichi un evento pronosticato con probabilità 1 (o non se ne verifichi uno pronosticato di probabilità 0). La ricompensa va vista come vincere una sfida di minima somma di penali su un lungo periodo o come un importo iniziale al quale vanno sottratte le penali.
• la penalizzazione non va assolutamente intesa come una ``valutazione a posteriori'' (cosa significherebbe?) della probabilità, ma semplicemente come l'equivalente del classico bastone e carota dei domatori;
• si può dimostrare (vedi fra i problemi) che non conviene mai assegnare un valore di probabilità diverso da quello che si pensa. Ad esempio, assegnando una probabilità 0.5 all'evento testa di una moneta si ha un valore atteso di penale di $0.25\,S$. Nel caso si dichiarasse una probabilità di 0.6 il valore atteso salirebbe a $0.26\,S$.