Note sui fit lineari necessari per l'esperienza

In questa esperienza bisogna eseguire quattro fit lineari: tre relativi alla misura delle costanti di tempo $\tau$ e uno per la misura di $S_p$ e del volume $V_\circ$. Quest'ultimo è quello più semplice: gli errori sulle ordinate sono noti e diversi uno dall'altro e gli errori sui volumi si possono supporre trascurabili. Le formule per effettuare i calcoli sono riportate in fondo a questo promemoria.

I fit per ricavare $\tau$ sono più complicati. Gli errori sulle ordinate sono tutti diversi e ignoti. Se infatti supponiamo che l'errore sulla misura della pressione $P$ sia costante e quello su $P_F$ sia trascurabile, in quanto calcolabile come valore asintotico e ripetibile più volte, otteniamo dalla propagazione degli errori:

$$\sigma_{y_i} = \frac{\sigma_P}{\vert\Delta P\vert}.$$

Osserviamo che gli errori sono tutti proporzionali a $1/\vert\Delta P\vert$. Siccome le formule per ottenere $\widehat{m}$ e $\widehat{c}$ dipendono da combinazioni di medie pesate, le quali non cambiano se tutti i pesi sono moltiplicati per lo stesso fattore, possiamo utilizzare la seguente strategia:

1. calcoliamo i pesi
   $$p_i = \Delta P^2 \ \ (\,\propto \frac{1}{\sigma_{y_i}^2}\,);$$

2. dalle formule dei minimi quadrati calcoliamo il coefficiente angolare $\widehat{m}$ e l'intercetta $\widehat{c}$;
3. la conoscenza dei parametri del fit permette di calcolare i residui fra i valori di $\Delta P$ misurati e quelli ottenuti dalla curva $\Delta P = \Delta P_\circ e^{-t/\tau}$, e dalla somma dei quadrati dei residui $\sigma_P$. Da questo valore è possibile calcolarsi il valore assoluto delle $\sigma_{y_i}$ e quindi gli errori sui parametri del fit.