Premessa

Se una pompa da vuoto è connessa ad un recipiente essa comincerà ad aspirare il gas ( aria ) in esso contenuto, causando così una di differenza di pressione negativa (depressione ) rispetto alla pressione atmosferica. La depressione finale ottenibile nel recipiente dipende dalla depressione che la pompa produrebbe ``in assenza di carico'' e dalle eventuali perdite nella linea del vuoto (definita come l'insieme della pompa, recipienti, tubi, raccordi, rubinetti e manometri opportunamente connessi fra di loro). Nel caso di ``vuoto spinto'' entrano in gioco effetti dovuti alla emissione di ioni da parte delle pareti interne degli elementi e che dipendono dal tipo di materiale, temperatura etc.

Dall'istante in cui il circuito e' chiuso (a tenuta) l'andamento della depressione D in funzione del tempo è di tipo esponenziale, caratterizzato da una costante di tempo $\tau$:

$$D=D_F(1-e^{-t/\tau}),$$ (35)

E' preferibile esprimere la (1) come:

$$P - P_F = (P_{\circ}-P_F)e^{-t/\tau},$$ (36)

o

$$\Delta P = \Delta P_\circ e^{-t/\tau}.$$ (37)

Dove $P$ è la pressione misurata all'istante $t$, $P_\circ$ è la pressione all'istante $t = 0$ ( ovvero la pressione atmosferica in assenza di errori di misura sul tempo e di incertezze dovute al fatto che la chiusura non avviene istantaneamente ) e $P_F$ è la pressione raggiunta asintoticamente. Si può linearizzare la (3) prendendo i logaritmi naturali di entrambi i membri:

$$\ln{\Delta P} = \ln{\Delta P_\circ} -\frac{t}{\tau}$$ (38)

Dal punto di vista dimensionale la (4) è scorretta. Infatti è noto che gli argomenti di logaritmi ed esponenziali devono essere adimensionali. La si può far diventare corretta con un piccolo trucco, consistente nel dividere l'argomento della funzione per la sua unità di misura. Essendo i valori della pressione sul vacuometro che si utilizza espressi in centimetri di mercurio otteniamo:

$$\ln{\frac{\Delta P}{1\, cm\, Hg}} = \ln{\frac{\Delta P_\circ}{1\, cm\, Hg}} -\frac{t}{\tau}$$ (39)

Si può quindi misurare $\tau$ come risultato di un fit lineare di $y = \ln{\frac{\Delta P}{1\, cm\, Hg}}$ in funzione di $t$ :

$$y = mt +c$$ (40)

L'esperienza consiste nel misurare la costante di tempo per tre recipienti di volume diverso e successivamente di verificare che la velocità di aspirazione

$$S_p = \frac{V_L}{\tau}$$ (41)

è una grandezza che non dipende dal volume totale $V_L$ della linea di vuoto. $V_L$ è pari alla somma del volume del recipiente $V$ più il volume $V_\circ$ del resto della linea⁴. La relazione fra la costante di tempo e il volume del recipiente $V$ è:

$$S_p = \frac{1}{\tau}(V_\circ+V),$$ (42)

Per verificare la (8) si riportano su un grafico i tre valori di $\tau$ misurati in corrispondenza di ciascun volume $V$. Si possono quindi determinare i valori di $S_p$ e di $V_\circ$ dai parametri di un fit lineare di $\tau$ in funzione di $V$ e confrontare il valore di $V_\circ$ ottenuto dal fit con quello misurato direttamente.