Misure ripetute della stessa grandezza fisica

Questo caso si riconduce a quello di $\sigma$ nota quando il numero di misure è abbastanza grande:

• il valore vero è in prossimità della media aritmetica, con una incertezza che decresce come $1/\sqrt{n}$;
• la deviazione standard dell'errore statistico (``valore osservato meno valore vero'') può essere stimato dalla deviazione standard degli scarti dei singoli valori osservati rispetto alla media²⁹:
  $$\sigma_r \approx \sigma_n(\Delta)\,,$$
  con $\Delta_i = x_i =\overline{x}$.

Quando invece $n$ è piccolo (al di sotto della decina, tipicamente), nascono altre complicazioni, in quanto:

• innanzitutto $\sigma(\Delta)$ non è una buona stima di $\sigma _r$ (si pensi al caso limite di $n=1$);
• in secondo luogo, la verosimiglianza dipende dal parametro ignoto $\sigma _r$ sul quale c'è stato di incertezza: la banale inversione di probabilità tipo cane-cacciatore non è più ovvia.

Come si può intuire, il problema diventa complicato. La soluzione usuale della statistica convenzionale consiste in

1. aumentare la deviazione standard stimata per tenere conto che la media è legata (``vincolata'') ai valori stessi e che quindi la deviazione standard tende ad essere sottostimata rispetto a quanto si otterrebbe disponendo di un campione più numeroso (si pensi al caso limite $n=1$); si preferisce allora usare $\sigma_{n-1}$
   $$\sigma_n \longrightarrow \sigma_{n-1} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}\sigma_n\,;$$

2. cambiare il tipo di distribuzione finale: dalla gaussiana alla cosiddetta $t$ di Student.

In realtà, anche se questi metodi vanno in qualche modo ``nella direzione'' giusta, bisogna fare attenzione a non prenderli troppo alla lettera. Ad esempio, se si osservano due valori che differiscono di 0.3 mm e si applica ciecamente questo metodo ne risulta un intervallo di incertezza di quasi 10 cm qualora si richiedesse un ``livello di confidenza'' del 99.9%. Qualsiasi meccanico troverebbe ridicola questa conclusione. Molto spesso, quando $n$ è veramente dell'ordine dell'unità, può essere più sensato quello che si sapeva su $\sigma _r$ prima della misura di quanto si possa ricavare dai dati stessi (su questo punto ritorneremo fra breve). Quando invece il problema è veramente critico è essenziale ripetere più volte le misure. Quando infine $n$ è già dell'``ordine di 10'' (ma anche 5-6 può andare abbastanza bene), l'inversione gaussiana diventa abbastanza ragionevole.