Errore di scala

Per il caso di fattore di scala si procede nello stesso modo. In questo caso chiamiamo $f$ il valore vero della costante di scala. Se lo strumento è calibrato al meglio, si crede che

$$f=1\pm\sigma_f\,.$$

Ne segue che

$$\mu=f\,\mu_r$$

e quindi

$$\sigma^2(\mu) = \sigma^2(\mu_r) + (\mu_r\,\sigma_f)^2$$ (29)

Anche in questo caso l'incertezza globale è una combinazione quadratica di quella dovuta ai soli effetti casuali e di quella dovuta all'incertezza di calibrazione, la quale è proporzionale al valore del misurando. Come nel caso precedente, più misure effettuate con lo stesso strumento sono correlate. Se in successive elaborazioni di queste si utilizzassero semplicemente le incertezze globali nella formula di propagazione, senza tener conto degli effetti di correlazione, si otterrebbero risultati errati.

E' istruttivo, nel caso dell'incertezza di scala, considerare il prodotto $P=\mu_1\cdot\mu_2$, il rapporto $R=\mu_1/\mu_2$ e la differenza $D=\mu_1-\mu_2$. Lasciando per esercizio i risultati errati che si otterebbero con il procedimento naïve, ricaviamo i risultati corretti, riscrivendo prima

$$P = \mu_1 \cdot \mu_2 = f^2\,\mu_{r_1}\,\mu_{r_2}$$

$$R = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{\mu_{r_1}}{\mu_{r_2}}$$

$$D = \mu_1 - \mu_2 = f\,(\mu_{r_1}-\mu_{r_2})\,.$$

Si vede subito che l'eventuale errore di scala è ininfluente nel rapporto; nel prodotto viene amplificato; nelle differenze esso dipende dalla differenza stessa e diventa trascurabile per valori molto vicini. Passando alle incertezze, abbiamo:

$$\sigma^2(P) = \mu_2^2\sigma^2_{r}(\mu_1) + \mu_1^2\sigma^2_{r}(\mu_2) + (2\,\sigma_f\,\mu_1\,\mu_2)^2$$ (30)

$$\sigma^2(R) = \frac{\sigma^2_{r}(\mu_1)}{\mu_2^2} +\sigma^2_r(\mu_{2})\frac{\mu_1^2}{\mu_2^4}$$ (31)

$$\sigma^2(D) = \sigma^2_r(\mu_1)+\sigma^2_r(\mu_2) + \sigma^2_f\, D^2\,.$$ (32)