Errore di zero (offset)

Cominciamo con il considerare uno strumento affetto da un possibile errore di zero (ove intendiamo una possibile costante additiva, in inglese offset, da aggiungere ai valori letti). Questo caso è illustrato in figura 9.a, dove è mostrata la lettura sullo strumento (``risposta'') in funzione del valore della grandezza (`stimolo'').

L'effetto di questo tipo di errore è che la curva di risposta potrebbe essere traslata lungo le ordinata, ma di un valore incognito. Infatti, anche se uno strumento è stato calibrato, e quindi crediamo che il valore più plausibile dell'offset sia 0, la non esattezza della calibrazione ci fa ritenere che anche ``piccoli'' valori intorno a 0 siano possibili.

Assumiamo di potere descrivere i diversi gradi di fiducia dell'offset con una gaussiana³³ centrata in 0 e di deviazione standard $\sigma_z$. Chiamiamo inoltre $z$ la variabile casuale ad esso associata ($z$ sta per ``zero vero''). Abbiamo detto che, in assenza di errore sistematico, la grandezza ha una incertezza $\sigma(\mu)=\sigma_r/\sqrt{n}$. Facciamo ora questa trasformazione di notazione

$$\mu \longrightarrow \mu_r$$ (24)

$$\sigma(\mu) \longrightarrow \sigma(\mu_r)$$ (25)

ovvero aggiungiamo il pedice $r$ per indicare che questi sono i valori veri ottenuti tenendo conto dei soli effetti casuali. Per ottenere il valore che tenga conto anche della non perfetta calibrazione bisogna sottrarre a $\mu_r$ il valor vero dell'offset:

$$\mu = \mu_r - z\,,$$

ove $z=0\pm\sigma_z$. Dalla propagazione delle incertezze otteniamo:

$$\sigma^2(\mu) = \sigma^2(\mu_r)+\sigma^2_z\,.$$ (26)

L'incertezza standard globale è quindi ottenuta combinando in quadratura l'incertezza standard dovuta ai soli effetti casuali con quella dell'offset.

Quando si hanno più grandezze misurate con lo stesso strumento si applica la stessa procedura a tutte le grandezze:

$$\sigma^2(\mu_i) = \sigma^2(\mu_{r_i})+\sigma_z^2\,.$$

Sorge ora il problema che tutte le incertezze sono correlate: se il valore vero dello zero dovesse valere $Z= z$ tutte le misure sarebbero sbagliate di questo valore. Per studiare l'effetto delle correlazioni, immaginiamo due grandezze, $\mu_1$ e $\mu_2$ e facciamone la differenza e la somma: $D=\mu_1-\mu_2$, $S=\mu_1+\mu_2$. Applicando la propagazione delle incertezze che abbiamo visto, sembrerebbe che

$$\sigma^2(D) \stackrel{\bf ?}{=} \sigma^2(\mu_1)+\sigma^2(\mu_2) = \sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma^2(\mu_{r_2})+2\sigma_z$$

$$\sigma^2(S) \stackrel{\bf ?}{=} \sigma^2(\mu_1)+\sigma^2(\mu_2) = \sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma^2(\mu_{r_2})+2\sigma_z$$

Ma c'è qualcosa che non convince; infatti, intuitivamente ci si aspetta che una incertezza dovuta all'offset debba essere ininfluente sulle differenze: un termometro può anche essere scalibrato di 10$^\circ$C, ma questo non può influenzare una misura di differenza di temperature. Riscriviamo allora i valori veri a partire da quelli ``solo random'' più l'effetto dell'offset:

$$\mu_1 = \mu_{r_1} - z$$

$$\mu_2 = \mu_{r_2} - z$$

$$D = \mu_1 - \mu_2 = \mu_{r_1} - \mu_{r_2}$$

$$S = \mu_1 + \mu_2 = \mu_{r_1} + \mu_{r_2} - 2\,z\,.$$

Ne segue quindi

$$\sigma^2(D) = \sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma^2(\mu_{r_2})$$ (27)

$$\sigma^2(S) = \sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma^2(\mu_{r_2})+4\sigma^2_z$$ (28)

ben diverse da quelle precedenti e molto più ragionevoli.