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Incertezza su un fattore di influenza

Affrontiamo questo argomento con un caso specifico. Supponiamo di dover determinare la lunghezza di una barretta di materiale avente un alto coefficiente di dilatazione termica. Affinché la misura abbia senso, occorre specificare nella definizione del misurando anche il valore della temperatura di riferimento. In genere si utilizza come riferimento $ T_\circ=20^\circ$C. Questo non implica che bisogna lavorare esattamente a questa temperatura, essendo ciò impossibile in linea di principio. Il valore di temperatura può essere, al più, nominalmente $ 20^\circ$C, con una incertezza di $ \sigma_T$; oppure la misura viene eseguita ad una temperatura $ T\pm\sigma_T$ diversa da $ T_\circ$ (ad esempio se non è possibile trasportare il misurando in un piccolo ambiente termostatato).

In questi casi è possibile sia

a condizione che sia noto il coefficiente di dilatazione termica

$\displaystyle \alpha \pm \sigma_\alpha$

(noto anch'esso con una eventuale incertezza...).

Indicando con $ l$ la lunghezza e $ \Delta T = T-T_\circ$, considerando $ \alpha \ll 1$ e assumendo (per semplicità) che lo strumento di misura non subisca la dilatazione termica, si ha (vedi anche figura 2):

$\displaystyle l_T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle l_{T_\circ}(1+\alpha\,\Delta T)$  
$\displaystyle l_{T_\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{l_T}{(1+\alpha\,\Delta T)}
\approx l_T(1-\alpha\,\Delta T) = \beta\, l_T$ (33)
       
$\displaystyle \sigma^2(l_{T_\circ})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \beta^2\sigma^2(l_{T}) +
l_{T}^2\sigma^2(\beta)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (1-\alpha\Delta T)^2\sigma^2(l_{T})
+ l_{T}^2\left(\Delta T^2\sigma^2_\alpha +
\alpha^2\sigma^2_T\right)\,.$ (34)

Si noti che: L'esempio mostrato si estende in modo immediato ad altri fattori di influenza, eventualmente anche concomitanti.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02