Distribuzioni triangolari

Figura 13: Esempio di distribuzione triangolare simmetrica e asimmetrica.

Quando la variabile casuale è definita in un certo intervallo, ma ci sono delle ragioni per ritenere che i gradi di fiducia decrescano linearmente dal centro ($x_\circ$) verso gli estremi si ha la cosiddetta distribuzione triangolare (o di Simpson). Anch'essa è molto utile per il calcolo delle incertezza di misura, in quanto in molte circostanze, questo modello può essere più realistico di quello uniforme.

Se la variabile può verificarsi con sicurezza nell'intervallo $x_\circ\pm \Delta$, il valore atteso è $x_\circ$ e la deviazione standard vale

$$\sigma = \frac{\Delta}{\sqrt{6}} = 0.41\,\Delta \approx 0.4\,\Delta\,.$$ (50)

I conti vengono lasciati per esercizio.

C'è un'altra distribuzione triangolare che può avere interessi pratici: il valore al quale si crede di più è $x_\circ$ e i gradi di fiducia decrescono linearmente verso gli estremi $a$ e $b$, ma $x_\circ$ non corrisponde con il centro dell'intervallo. Chiamando

$$\Delta_+ = b-x_\circ$$ (51)

$$\Delta_- = x_\circ-a \,,$$ (52)

si ottengono i seguenti risultati per valore atteso e varianza

$$(X) = x_\circ + \frac{\Delta_+ - \Delta_-}{3}\,.$$ (53)

$$\sigma^2 = \frac{\Delta_+^2+\Delta_-^2+\Delta_+\,\Delta_-}{18}\,,$$ (54)

le cui dimostrazioni vengono lasciate come esercizio.

Quando $\Delta_+ =\Delta_- = \Delta$, si riottengono le formule del caso precedente. E' interessante inoltre notare che, se la differenza fra $\Delta_+$ e $\Delta_-$ è piccola si ottiene una deviazione standard circa pari a quella ottenibile con un valore intermedio fra i due:

$$\sigma \approx \frac{\overline{\Delta}}{\sqrt{6}} =\frac{1}{\sqrt{6}}\frac{(\Delta_++\Delta_-)}{2}\,,$$

come può essere verificato mediante una espansione in serie della (54).

Un sottocaso particolare della triangolare asimmetrica è quando uno dei due $\Delta$ è nullo ed il triangolo diventa rettangolo. Questa distribuzione può modellizzare gradi di fiducia che decrescono linearmente in un certo intervallo. Ad esempio, ci possono essere delle ragioni per ritenere che una grandezza definita non negativa valga molto verosimilmente 0 e che comunque non debba eccedere un certo valore $a$: si ottiene una previsione di $a/3\pm a/(3\sqrt{2})$.