Presentazione del risultato - cifre significative

Riprendiamo ora il discorso sul numero di cifre con il quale presentare il risultato della misura, iniziato nel paragrafo 3.4, ovvero prima di essere in grado di stimare quantitativamente l'incertezza di misura. È chiaro ora come, al termine di un lavoro di laboratorio e di analisi dei dati sperimentali sia importante presentare il risultato con la sua incertezza e con le opportune unità di misura della grandezza fisica. L'uso più comune è quello di riportare il risultato nella forma:

$$\mu = ( \widehat{\mu} \pm u )\, [G]\,$$ (10.3)

dove $[G]$, ricordiamo, rappresenta l'unità di misura, mentre $\hat{\mu}$ e $u$ stanno, rispettivamente, per ``stimatore'' di $\mu$ e incertezza ($u$ dovrebbe ricordare uncertainty. In questo testo utilizziamo, a meno che non sia indicato diversamente, come stimatore la previsione o valore atteso E$(\mu)$ e come incertezza l'incertezza standard di previsione $\sigma(\mu)$.

Sorge a questo punto il problema del numero di cifre con il quale riportare il risultato. L'uso corrente di calcolatrici tascabili che fanno tranquillamente operazioni a 8 o 10 cifre indurrebbe a scrivere il risultato con tutte le cifre che il calcolatore dà, con lo spirito che è meglio abbondare che scarseggiare. Questo non è vero. Risultati con troppe cifre sono difficilmente leggibili e gran parte delle cifre non danno nessuna informazione reale su quello a cui siamo interessati. È utile invece cambiare punto di vista e formulare il problema in termine del numero minimo di cifre per fornire il risultato con la precisione con la quale è stato determinato. Supponiamo di aver aver misurato una lunghezza e di ottenuto dai conti

$$\hat{\mu} = 5.348882341$$

$$u = 5.909160536\times 10^{-2}\,.$$

Risultati del tipo

$$\mu = 5.348882341 \pm 5.909160536\times 10^{-2}\,$$

$$= 5.348882341 \pm 0.05909160536 \,$$

sono assolutamente ridicoli. Essendo già - molto ! - incerti sulla seconda cifra dopo la virgola del risultato, non ha molto senso scrivere tutte le altre. Similmente, non è di nessuno interesse sapere se l'incertezza è di $0.05909160536$ o $0.05909160537 \,$cm, e nemmeno se è $0.0590$ invece di $0.0591 \,$cm. Quello che è importante è sapere che circa $0.06\,$cm piuttosto che 0.07, 0.05. Ma questo implica che chi utilizzarà successivamente queste informazioni sarà ``incerto sull'incertezza'' di circa $\pm 0.5$ su 6, ovvero dell'ordine del 10%, a causa dell'arrotondamento. Dal punto di vista pratico, nel senso di percezione dell'incertezza, tale incertezza aggiuntiva è irrilevante. Inoltre, tenendo conto anche di possibili effetti sistematici, il cui contributo all'incertezza è sempre di difficile valutazione, è difficile credere veramente ad una stima dell'incertezza al meglio dell'ordine del 10%. D'altra parte è possibile pensare a casi sofisticati in cui un eccessivo arrotondamento, pur non provocando nessun deterioramento della percezione dell'incertezza, può influenzare elaborazioni successive^10.6 Comunque, volendo dare delle raccomandazioni, diciamo che, pur non essendoci una regola generale e quindi di far uso del buon senso, ii danno di norma una o due cifre significative per l'incertezza. Per quanto riguarda invece lo stimatore, la regola è molto più rigida: si dà un numero di cifre significative fino ad arrivare all'ordine di grandezza della cifra dell'incertezza meno significativa. Quindi il risultato del nostro esempio può essere presentato nei seguenti modi, entrambi accettabili:

$$l = (5.35 \pm 0.06 )\,$$ (10.4)

$$l = (5.349 \pm 0.059 )\, .$$ (10.5)

Il primo risultato è espresso con una cifra significativa per l'incertezza e tre per il valore, il secondo ne ha rispettivamente due e quattro. Si noti comunque come la scrittura che trasmette in modo più immediato la qualità del risultato è la prima.

Ci sono casi in cui si ha l'interesse, invece di dare il risultato come valore medio più o meno l'incertezza, di fornire gli estremi dell'intervallo dato dall'incertezza. Anche in questo caso è preferibile valutare le cifre significative per l'incertezza e per lo stimatore e successivamente effettuare le somme e le diferenze. Nel caso del nostro esempio i limiti verrebbero $5.29 < l < 5.41$cm o $5.290 < l < 5.408$cm.

Quando l'incertezza è sulle cifre a sinistra della virgola servono degli ``zeri a destra'' di appoggio che però non hanno in questo caso il significato di cifre significative, come ad esempio:

$$d = (13200 \pm 500)\, ,\$$ (10.6)

ovvero $d=(13.2\pm0.5)\,$km. È ovvio che nella (10.6) non è chiaro se l'incertezza sia $500\,$m o $50\,$m, (***riscrivere ***) anche se in mancanza di ulteriori informazioni il lettore preferisce essere prudente e utilizzare l'interpretazione più conservativa di $\pm 500\,$m. Un modo per ovviare a questi problemi, evitando al tempo stesso numeri troppo lunghi, è quello di riportare i risultati in notazione scientifica con una mantissa moltiplicata una potenza di 10, come ad esempio $(1.32 \pm 0.05)\cdot 10^{4} \,$   m. Come si vede questa notazione non dà luogo ad ambiguità, ma rischia di non essere memorizzabile dal lettore se la potenza di 10 non ha un significato immediato. In questo caso, ad esempio, $(13.2\pm\, 0.5)\cdot 10^{3}\,$m, ovvero $(13.2\pm\, 0.5)\,$km, costituisce la presentazione più intellegibile e meno ambigua.

Ci sono altri modi di presentare il risultato che si incontrano in letteratura e che sono validi fintanto ché cifre significative e precisione della misura sono fra di loro coerenti.

• $0.529177249(24)\times 10^{-10}\,$   cm: questo è il modo raccomandato dalal Guida ISO e l'esempio mostra il valore del raggio di Bohr che compare nelle tabelle delle costanti fisiche^10.7. Fra parentesi compare la deviazione standard sulle ultime due cifre significative. Il risultato è quindi equivalente a $(0.529177249\pm 0.000000024)\times 10^{-10}\,$   cm ma decisamente più intellegibile.
• $0.529177249\times 10^{-10}\,$   cm$\pm 0.045\,$   ppm: è il modo con cui si potrebbe dare il risultato precedente fornendo l'incertezza relativa in parti per milione (ppm);
• $\lambda = 220.0\cdot (1\pm 0.02) \,$   WK$^{-1}$m$^{-1}$: indica un risultato al $2\,\%$, equivalente a $( 220.0\pm 4.4)$WK$^{-1}$m$^{-1}$;
• $180.2\,\Omega \pm 1.5\,\%$: è un altro modo per fornire un risultato con l'incertezza percentuale, equivalente a $(180.2\pm 2.7)\,\Omega$;
• $157\,$s: questo risultato dato senza incertezza va interpretato a seconda del contesto. Per alcuni significa che tutte le cifre sono sicure e l'incertezza è su quelle successive; per altri che il valore vero è compreso con sicurezza fra 156.5 e 157.5; per altri ancora che l'incertezza è dell'ordine di grandezza dell'ultima cifra significativa. È chiaro quindi che o un dato del genere non è determinante ai fini dell'analisi oppure che si devono avere altre informazioni per il suo corretto utilizzo;
• $12.546_3\,$g: le cifre grandi rappresentano quella sicura mentre quella piccola è quella sulla quale lo sperimentatore si assume minore responsabilità. Valgono più o meno le stesse osservazioni del caso precedente.

Abbiamo visto con quante cifre presentare il risultato, ma con quante cifre bisogna registrare i dati di laboratorio? Se si conosce a priori l'incertezza di misura si utilizzano le regole appena viste. Altrimenti bisogna regolarsi cercando di non perdere precisione ma anche di non sprecare tempo e spazio a portarsi dietro cifre inutili, basandosi anche sulla precisione che si vorrebbe raggiungere sul risultato finale. Molto spesso, se capita di effettuare più misure, all'inizio ci cerca di registrare tutte le cifre, ma dopo un po' ci si rende conto delle cifre troppo ballerine che, come dice il nome, non sono assolutamente significative.