Caso di combinazioni lineari

Per capire bene il problema, partiamo da variabili discrete. Per semplicità prendiamo due grandezze, $a$ e $b$, che possono assumere soltanto tre valori, con distribuzione uniforme. Ad esempio: $a_1=9$, $a_2=10$, $a_3=11$; $b_1=4$, $b_2=5$, $b_3=6$. Essendo tutti i valori equiprobabili abbiamo: $f(a_i)=f(b_i)=1/3$. Se adesso siamo interessati alla variabile $c=a+b$, l'incertezza sul valore di $a$ e di $b$ si propaga sul valore di $c$.

Il caso discreto con tre soli valori possibili permette di seguire il ``flusso di incertezza'', come mostrato in tabella 11.1.1. La variabile $c$ può essere un numero compreso fra 13 e 16, ma a differenza di $a$ e di $b$, i valori non sono tutti equiprobabili. Infatti, mentre i valori estremi si possono verificare per una particolare coppia di $a$ e di $b$, ci sono più coppie che possono produrre gli altri valori. In particolare, il valore $c=15$ è quello più probabile semplicemente perché esso può essere ottenuto da possibili coppie.

Tabella: Combinazione di 3 valori di $a$ con 3 valori di $b$ che danno luogo a 5 possibili valori della somma $c=a+b$. Se si assume l'equiprobabilità di $a$ e di $b$ si arriva ad una distribuzione di probabilità del tipo triangolare (discreta).

		$b$
		4	5	6
	9	13	14	15
$a$	10	14	15	16
	11	15	16	17

Un caso analogo, leggermente più complicato, è mostrato in figura 11.1. Si tratta delle distribuzioni di probabilità della somma degli esiti di 1, 2 e 3 dadi.

Figura: Distribuzione della somma dei risultati ottenuti dal lancio di $n$ dadi. La concentrazione della probabilità al centro della distribuzione è dovuta all'elevato numero di combinazioni risultanti in valori della somma intermedi e giustifica qualitativamente il teorema del limite centrale.

Si noti il graduale l'addensamento della probabilità nei valori centrali, dovuta ad un semplice effetto combinatorio. Per questo motivo la deviazione standard non cresce linearmente con l'ampiezza massima della distribuzione. Ad esempio, combinando due distribuzioni uniformi fra 0 e 1 (è il limite di un dado con infinite facce), non si ottiene $2/\sqrt{12}$, bensì $1/\sqrt{6}$, $\sqrt{2}$ volte più piccola (si riconosce la deviazione standard di una distribuzione triangolare!). Quelle che invece crescono linearmente sono le varianze ( $2\times 1/12 = 1/6$).

Si capisce inoltre come, per simmetria, la distribuzione delle differenze intorno al valore centrale debba essere uguale a quella delle somme.

Quindi, per due variabili indipendenti si ottiene la seguente regola di propagazione:

$$\sigma^2(X\pm Y) = \sigma^2(X)+ \sigma^2(Y)\,.$$ (11.1)

Consideriamo successivamente una trasformazione di scala: $Y=c\,X$. Anche la scala delle possibili fluttuazioni si trasforma nello stesso modo e, poiché il segno di $c$ è ininfluente, si ottiene:

$$\sigma(c\,X) = \vert c\vert\,\sigma(X)\,.$$ (11.2)

Combinando i risultati espressi dalle formule (11.1) e (11.2) si ottiene la regola generale della varianza di una combinazione lineare di variabili casuali.

$$\sigma^2\left(\sum_ic_iX_i\right) = \sum_ic_i^2\sigma^2(X_i).$$ (11.3)

È importante notare che questa regola dipende soltanto dalla definizione di varianza e non dal tipo di distribuzione di probabilità delle variabili casuali.