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Linearizzazione

Dalla (11.3) si ottiene la regola generale per una funzione qualsiasi, mediante linearizzazione intorno ai valori attesi. Infatti se indichiamo con $ Z=Z(X,Y)$ la generica funzione delle due variabili casuali $ X$ e $ Y$, abbiamo
$\displaystyle Z=Z(X,Y)$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle Z(\mu_z,\mu_z) +
\left.\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert _...
...eft.\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!(Y-\mu_y) + \ldots$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle k + \left.\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!x +
\left.\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!y + \ldots$  
$\displaystyle \sigma^2(Z)$ $\displaystyle \approx$ $\displaystyle \left(\frac{\partial Z}{\partial X}\right)^2\sigma^2(X)
+ \left(\frac{\partial Z}{\partial Y}\right)^2\sigma^2(Y)\,,$ (11.4)

dove $ k$ contiene tutti i termini che non dipendono dalle variabili casuali e che quindi sono ininfluenti ai fini del calcolo della varianza. L'ultimo passaggio è stato ottenuto facendo uso della (11.3). È generalmente sottointeso che le derivate vadano calcolate nel punto di migliore stima di $ X$ e di $ Y$. Il caso generale va da sé.

Si ricordi che la (11.4) è basata su una linearizzazione. La funzione deve essere abbastanza lineare un certo numero di deviazioni standard intorno alle migliori stime delle variabili di partenza. Questo è generalmente vero se le $ \sigma $ sono molto minori delle stime. Se la funzione è lineare non c'è nessun vincolo sul valore di $ \sigma $. Ad esempio, se $ Z=X+Y$, con $ X=0.1\pm 0.7$ e $ Y=0.0\pm 1.0$, si ha $ Z=0.1\pm 1.2$.

Per quanto riguarda l'uso della formula di propagazione, si raccomanda di fare una lista dei contributi all'incertezza totale dovuti a ciascun termine da cui la grandezza finale dipende. Questo permette di capire quale contributo sia maggiormente responsabile e sul quale bisogna intervenire al momento di pianificare un nuovo esperimento. Quindi la formula (11.4) può essere riscritta nel seguente modo, didatticamente più valido:

$\displaystyle \sigma(Z) \approx \left\vert\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert\sigma(X) \oplus \left\vert\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert\sigma(Y)\,,$ (11.5)

ove con ``$ \oplus$'' si è indicata l'operazione di somma in quadratura. C'è un altro modo interessante di riscrivere questa formula:

$\displaystyle \sigma_Z \approx \sigma_Z(X) \oplus \sigma_Z(Y)\,,$ (11.6)

in cui $ \sigma_Z(X)$ e $ \sigma_Z(Y)$ indicano i contribuiti all'incertezza dovuti a ciascuna delle grandezze da cui $ z$ dipende. È infatti istruttivo abituarsi a pensare in termini delle componenti all'incertezza totale, piuttosto che usare ciecamente la formula (11.4). È inoltre importante dare alle derivate il significato di coefficiente di sensibilità, nel senso che, maggiore è la derivata, maggiore è la variazione di $ Z$ a parità di variazione di $ X$ o di $ Y$.

Naturalmente le (11.4)-11.6 si generalizzano facilmente al caso di molte variabili. Inoltre, d'ora in poi useremo il simbolo ``$ =$'' invece di ``$ \approx''$, anche se bisogna tenere ben in mente che si tratta sempre di formule approssimate, a meno che la funzione non sia lineare, ovvero la grandezza finale è combinazione lineare di quelle iniziali.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02