Incertezze relative

Riprendiamo la (11.4) estesa al caso generale, ovvero nel caso di $Y=Y(X_1, X_2,\ldots,$ $X_n)$

$$\sigma^2(Y) = \sum_i\left(\frac{\partial y} {\partial x_i}\right)^2\sigma^2(x_i)\,.$$ (11.7)

Un caso particolarmente interessante si presenta quando la dipendenza di $Y$ da $X_i$ è data da una funzione monomia, ovvero

$$Y =k X_1^{\alpha_1}\cdot X_2^{\alpha_2}\cdots X_i^{\alpha_i} \cdot X_n^{\alpha_n}\,.$$

Molte leggi fisiche sono infatti di questo tipo ( $s=\frac{1}{2}g\,t^2$, $F=M_1\cdot M_2/R^2$, etc). La derivata di $Y$ rispetto alla generica $X_i$ si ottiene diminuendo di 1 il grado della potenza di $X_i$ e moltiplicando per $\alpha_i$. Questo è equivalente a moltiplicare la $Y$ stessa per $\alpha_i$ e poi dividere tutto per $X_i$. Si ha quindi:

$$\left.\frac{\partial Y}{\partial X_i}\right\vert _{\{\mu_{X_1}, \mu_{X_2}\ldots\}} = \left.\alpha_i\frac{Y}{X_i}\right\vert _{\{\mu_{X_1}, \mu_{X_2}\ldots\}} \approx \alpha_i\frac{\mu_Y}{\mu_{X_i}}$$

$$\sigma^2(Y) \approx \sum_i\alpha_i^2\frac{\mu_Y^2}{\mu_{X_i}^2}\sigma^2(X_i)$$

$$\frac{\sigma^2(Y)}{\mu_Y^2} = \sum_i \alpha_i^2 \frac{\sigma^2(X_i)}{\mu^2_{X_i}}$$ (11.8)

$$r_Y^2 = \sum_i \alpha_i^2 r_{X_i}^2$$ (11.9)

$$r_Y = \vert\alpha_1\vert r_1 \oplus \vert\alpha_2\vert r_2 \oplus \ldots \,,$$ (11.10)

dove dalla formula (11.8) abbiamo sostituito, come sopra, ``$\approx$'' con $=$ e abbiamo introdotto $r$ ad indicare l'incertezza relativa. Quindi, nel caso di funzioni monomie il contributo all'incertezza relativa dato da ciascuna variabile di ingresso è pari alla sua incertezza relativa moltiplicata per il modulo della potenza. I vari contributi si combinano poi quadraticamente. Si noti come l'incertezza relativa su $Y$ può essere anche inferiore a quella su $X$ se $\vert\alpha\vert<1$ (ad esempio $Y=\sqrt{X}$). Si noti inoltre come la 11.10 è valida anche per le incertezze relative espresse in valori percentuali.

Il vantaggio pratico di utilizzare, ogni volta che è possibile, la propagazione delle incertezze relative è legato al fatto che, siccome quello che veramente importa ai fini della qualità della misura è l'incertezza relativa, essa permette di capire quali sono le grandezze più critiche, sulle eventualmente quali intervenire. Questo è particolarmente vero se si usa la formula 11.10 scrivendo esplicitamente tutti gli ``addendi'', invece di fare automaticamente. Ad esempio se si ha

$$Y=\frac{X_1\cdot X_2^3\cdot\sqrt{X_3}}{X_4^2}$$

con incertezze relative delle grandezze di ingresso, espresse in %, pari a $2.5\,\%$, $1.8\,\%$, $5\,\%$ e $2.0\,\%$, è opportuno scrivere

$$r_Y = 2.5\% \oplus 5.4\,\% \oplus 2.5\,\%\oplus 4.0\,\% = 7.8\,\%\,,$$

(***controllare***) da cui si capisce subito che per migliorare il risultato bisogna misurare meglio $X_2$, anche se era già la grandezza conosciuta più precisamente. A poco serve, invece, misurare meglio $X_2$, sebbene sia nota soltanto al 5%.