Regole pratiche (da prendere ``cum grano salis'')

Se osserviamo attentamente la tabella 3.3 scopriamo che le variazioni sono molto più ampie lungo le righe che lungo le colonne in quanto il maggior responsabile delle variazioni del risultato è il fattore con il minor numero di cifre significative. Infatti, essendo la misura dell'area incerta di circa una parte su cinquanta, anche se l'altro fattore fosse un valore ``esatto'' il prodotto sarebbe ancora affetto da una incertezza di una parte su cinquanta. Si dice allora che ``l'incertezza di un fattore si è propagata sull'incertezza sul prodotto''. Da questo ragionamento si evince come l'incertezza sul prodotto sia maggiormente influenzata dal fattore che ha la maggiore incertezza relativa, ove per incertezza relativa si indica l'incertezza in unità del valore della grandezza.

Otteniemo quindi la seguente regola pratica:

in una moltiplicazione fra due grandezze il numero di cifre del prodotto è determinato dal fattore avente il minor numero di cifre significative.

Per vedere cosa succede nel caso di una somma, consideriamo una lastra metallica del quale misuriamo lo spessore con un micrometro. Ammettiamo di essere riusciti a leggere 0.234 mm. Calcoliamo la somma di tale spessore con il diametro e con l'altezza del tondino (ricordiamo che valevano 8.0 e 578.3 mm rispettivamente). Senza ripetere in dettaglio i ragionamenti fatti sopra, si può vedere che nei due casi i risultati sono 8.2 mm e 578.5 mm. Le informazioni sui centesimi e millesimi di millimetro dello spessore della lastra sono irrilevanti alla fine della somma in quanto le altre due grandezze sono già incerte al decimo di millimetro. Quindi nella somma non è il numero di cifre significative ad essere importante, quanto l'addendo che ha l'incertezza (assoluta) maggiore (l'aggettivo ``assoluto'' è ridondante e serve solo a contrapporsi a ``relativo'' incontrato poc'anzi; in particolare, non ha niente a che vedere con il concetto di valore assoluto nel senso algebrico). Quindi ne segue che

in una addizione fra due grandezze l'ordine di grandezza della cifra meno significativa della somma è pari al maggiore degli ordini di grandezza delle cifre meno significative degli addendi.^3.3

Si può verificare facilmente che quanto detto per il prodotto vale anche per il rapporto, e quanto detto per la somma vale anche per la differenza.

Nel seguito troveremo delle regole generali per propagare l'incertezza e stabilire il numero adeguato di cifre significative per qualsiasi operazione. Per ora vale la pena di soffermarci sui logaritmi, mentre il caso delle potenze può essere assimilato in prima approssimazione a quello dei prodotti.

Provando con un po' di esempi, del tipo di quelli mostrati per somme e prodotti, ci si rende conto di una regola empirica che troverà giustificazione nella regola generale ma che per ora può sembrare un po' sorprendente:

il logaritmo ha tante cifre decimali significative quante sono le cifre significative dell'argomento.

Ad esempio, se la grandezza $y$ è legata ad $x$ dalla relazione $y=\ln x$, con $x=8.51$, 85100, 0.851 e 0.0000851, $y$ varrà rispettivamente^3.4 rispettivamente 2.141, 11.352, -0.161 e -9.372. Questo comportamento ``anomalo'' del logaritmo può essere giusticato dal punto di vista fisico ricordandosi che l'argomento del logaritmo deve essere adimensionale. Quindi il valore di una grandezza fisica argomento del logaritmo deve essere sempre rapportata ad un'altra grandezza ad essa omogenea che funge da scala. Molto spesso questa è semplicemente l'unità di misura di tale grandezza. Ma l'unità di misura è in principio arbitraria, con il semplice effetto di moltiplicare per un fattore (privo di incertezza) il valore numerico della grandezza. Il logaritmo sarà quindi pari al logaritmo della mantissa più il logaritmo di tale fattore. Quindi le cifre del logaritmo potrebbero crescere arbitrariamente, mentre la cifra meno significativa della mantissa rimane sempre la stessa, con la conseguente crescita del numero di cifre significative del risultato.

Questo apparente paradosso non deve spaventare, in quanto nei casi normali di laboratorio il calcolo dei logaritmi compare sempre in combinazioni del tipo

$$y = \ln{x_2} - \ln{x_1} = \ln{\frac{x_2}{x_1}}$$ (3.1)

che chiaramente non dipendono dall'unità di misura (comune!) di $x_1$ e $x_2$.

Gli esponenziali si comportano in modo opposto ai logaritmi.